第一讲数列的极限一、内容提要1. 数列极限的定义lim x = a oVe> 0, BN e N, Vn > N，有 |x - a|<£ ns n n注1 8的双重性.一方面，正数8具有绝对的任意性，这样才能有无限趋近于a =|x - ^ <8 (n > N)另一方面，正数8又具有相对的固定性，从而使不等式\xn - a <8 .还表明数列无限趋近 于a的渐近过程的不同程度，进而能估算｛x ｝趋近于a的近似程度.n注2若lim气存在，则对于每一个正数8，总存在一正整数N与之对应，但这种N不是 ns唯一的，若N满足定义中的要求，则取N +1,N + 2,，作为定义中的新的一个N也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N .注3气-a (n T 3)的几何意义是：对a的预先给定的任意8 -邻域U(a, 8 )，在« ｝中-a n0至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入〃(a,8 ).注 4 lim x 丰 a o B8 > 0, VN e N, Bn > N，有 x n—3 n 0 0 ‘2. 子列的定义在数列4〃 ｝中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为｛xn ｝的子列，记为X ｝，其中七表示x〃在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数. k k注1对每一个k，有nk > k .注2对任意两个正整数h, k，如果h > k，则匕>七.反之，若nh < nk，则h < k .注3limx = a o V8 > 0, BK e N, Vk > K，有 x -a <8n-3 nk注4lim xn n—3=a o ｛x ｝的任一子列l ｝收敛于a .n nk3. 数列有界 对数列｝，4. 无穷大量 对数列｝，若BM > 0，使得对Vn > N，有|xj < M，则称数列土 ｝为有界数列.，记如果VG > 0，BN eN, Vn > N，有|xj > G，则称« ｝为无穷大量作 lim x =3 .nn—3注1 8只是一个记号，不是确切的数.当｝为无穷大量时，数列｝是发散的，即lim七n—s不存在.注2若lim七=8,则«｝无界，反之不真. n—s注3设«｝与"J为同号无穷大量，则七+ yj为无穷大量.注4设(X』为无穷大量，"〃｝有界，则bn± yj为无穷大量.注5设为无穷大量，对数列»」，若士 > 0，BN gN，使得对Vn > N，有|yj >5，则by ｝为无穷大量.特别的，若y — a。
0，则by ｝为无穷大量.n n n n n5. 无穷小量若lim x = 0，则称(x ｝为无穷小量.n—8注 1 若 lim x = 0n—8 n｛y ｝有界，则 lim x y = 0 .n—s注 2 若 lim x =s，则 lim」-=0；若 lim x = 0，且 BN g N，使得对 Vn > N，x 0， n—s n n—s x n—s n "n贝 g lim——=s .n—s x n6. 收敛数列的性质(1) 若«｝收敛，则«｝必有界，反之不真.(2) 若(x ｝收敛，则极限必唯一.(3)若limx = a，n—s n有 xn > yn -nlim y =饥且a >饥则BN g N，使得当n > N时，n—s n注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍.(4) 若limx = a， lim y = b，且 BN g N，使得当 n > N 时，有 x > y，则 a > b.n—s n n—s n n n注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.(5) 若数列(x ｝、｛y ｝皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列(x + y ｝，b - y ｝，n n n n n nnnx I八. —n > (lim y y J n—sn^ 0)也收敛，且有limVxn n—s± y )= limx ± limyn n—s n n—s nlim x - y = lim x - lim y ，nn n nn—s n—s n—slim xx ” lim —= n 用 n n" y lim yn nn s7. 迫敛性（夹逼定理）若3N gN，使得当n > N时，有yn < x〃 < z且 lim y = lim z = anrs n nT8 n贝 Q lim x = a .nT8 n8. 单调有界定理单调递增有上界数列匕｝必收敛，单调递减有下界数列匕｝必收敛.n n9. Cauchy收敛准则数列七｝收敛的充要条件是：Vs > 0, 3N gN, Vn, m > N,有|x〃— x^注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法， 但它的长处也在于此一一在论证极限问题时不需要事先知道极限值.10. Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列.(1、11. lim|1 + —nTsk n )n=e = 2.7182818284…1寸=—乙 a ,n i=1（算术平均值）G(a ) = n：a a …ai '12 na.1)（几何平均值）12.几个重要不等式| sinx |< 1. | sinx |<| x |.（2）算术一几何一调和平均不等式:对 Va「a2,…,a g R +,记M (a ) = "1 + " 2 + …+ 气,in.（调和平均值）H (a )=—— i 1 1 1 1 顶 1 顶 1一 +——+…+—— 一乙一 乙一a.] a2 a n ^ a 「a有均值不等式： H(a ) < G(a ) < M(a ),等号当且仅当a = a =…=a时成立.i i i 1 2 n(3) Bernoulli不等式：(在中学已用数学归纳法证明过)对Vx > 0,由二项展开式n(n -1) n(n - 1)(n - 2)3!(1+ x)n = 1 + nx + x2 + x3 + + xn,2! …n (1 + x) n > 1 + nx , (n > 1)(4) Cauchy—Schwarz 不等式：Va^,b^ (k = 1,2,…,n)，有Jab'* k=1 k k)(5) Vn e N ,< n +113. O. Stolz 公式( \2 0，limx = a，则lim%.'x =、.：a ； (97，北大，10 分)ns n ns证明:ln nlim = 0 (a > 0)n* na(1) V£ > 0，欲使不等式3n 2 + 5n +13n 2 - n + 66n - 5 6n 6n 6 < < =一 < £ 3n 2 - n + 6 3n 2 - n n 2 n成立，只须n > -，于是，V££> °” = [6 +1，当n > N 时，有(2)于是，(3)3n 2 + 5n +113n 2 - n + 63n2 + 5n +1 lim6〈一 <£n=1 3n 2 - n + 6ns由 lim xn ns知 V£ > 0,v'x + xaBN eN, Vn > N，有 || < v'as，则x - ax;aBN eN, Vn > N，有 ^弓―寸刁 ln n，因为2 以ln n 2 ln n a0 < = 0，ln n 八ln n4r 4)a欲使不等式 ——-0= <a.n an aaan 2kae J当n > N时，有于是，农> 0，取N = {—V +1, kas Jln n 4< ——
做了适当的变形，使得|七- < g(n) 0，只要找到一个自然数N(s )，使得当 n > N(e )时，有|七-a| 0, BN e N, Vn > N，有 |x - a| < M& (M 为任一正常数).(2) Ve > 0, BN eN, Vn > N，有 |x - a| 1, k e N)nT3 a n证明：(1)(方法一)由于nn > 1 (n > 1)，可令nn = 1 +人(九〉0 )，贝n = ( n) = (1 + 人)n = 1 + n人 + n^n~ 人2 + +Mn > n^n_—人2 ( n > 2 )2 2n当 n > 2 时，n -1 >-，有n(n -1)… n2 n2 ,—、、n > 人2 > ——人2 =——(nn 一 1)22 4 40 < tj~n -1 < ―.^lnl l 2 4Vs >0,欲使不等式njn-l =^'n-l< —<£成立，只须〃〉一y/n £2于是，Vs > 0,取 2V = max s —— +1,2 >,当 n〉N 时，有\：nlim<'n = 1.ns（方法二）因为一 一 /~' X1 < J” = {4n • -Jn -1-1 1） nJ~n + Jn +1 1 2jn +n-2 2V = v 1 + ——,所以| njn —1V£ >0,欲使不等式展'T =柝—12 4< —i= < £成立，只须〃〉—yjn £2于是，V£ >0,取2 二+ 1。