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1、第一讲数列的极限一、内容提要1. 数列极限的定义lim x = a oVe 0, BN e N, Vn N，有 |x - a| ns nn注1 8的双重性.一方面，正数8具有绝对的任意性，这样才能有无限趋近于a =|x - N)另一方面，正数8又具有相对的固定性，从而使不等式xn - a 0, VN e N, Bn N，有 x n3 n002. 子列的定义在数列4 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为xn 的子列，记为X ，其中七表示x在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数. kk注1对每一个k，有nk k .注2对任意两个正整数h, k，如果h k，则匕七.反之，若nh
2、 nk，则h 0, BK e N, Vk K，有 x -a 0，使得对Vn N，有|xj 0，BN eN, Vn N，有|xj G，则称 为无穷大量作 lim x =3 .nn3注1 8只是一个记号，不是确切的数.当为无穷大量时，数列是发散的，即lim七ns不存在.注2若lim七=8,则无界，反之不真. ns注3设与J为同号无穷大量，则七+ yj为无穷大量.注4设(X为无穷大量，有界，则bn yj为无穷大量.注5设为无穷大量，对数列，若士 0，BN gN，使得对Vn N，有|yj 5，则by 为无穷大量.特别的，若y a。0，则by 为无穷大量.n nnn n5. 无穷小量若lim x = 0
3、，则称(x 为无穷小量.n8注 1 若 lim x = 0n8 ny 有界，则 lim x y = 0 .ns注 2 若 lim x =s，则 lim-=0；若 lim x = 0，且 BN g N，使得对 Vn N，x 。0， ns nns xns nn贝 g lim=s .ns x n6. 收敛数列的性质(1) 若收敛，则必有界，反之不真.(2) 若(x 收敛，则极限必唯一.(3)若limx = a，ns n有 xn yn -nlim y =饥且a 饥则BN g N，使得当n N时，ns n注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍.(4) 若limx = a， lim y =
4、 b，且 BN g N，使得当 n N 时，有 x y，则 a b.ns nns nn n注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.(5) 若数列(x 、y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列(x + y ，b - y ，nnn nn nnnx I八. n (lim y y Jnsn 0)也收敛，且有limVxn ns y )= limx limynns n ns nlim x - y = lim x - lim y ，nnnnnsnsnslim xx ” lim = n 用 n n ylim ynnn s7. 迫敛性（夹逼定理）若3N gN，使得当n N时，有yn x 0,
5、3N gN, Vn, m N,有|x x注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法， 但它的长处也在于此一一在论证极限问题时不需要事先知道极限值.10. Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列.(1、11. lim|1 + nTskn )n=e = 2.71828182841寸=乙 a ,n i=1（算术平均值）G(a ) = n：a a ai 12 na.1)（几何平均值）12.几个重要不等式| sinx | 1. | sinx | x |.（2）算术一几何一调和平均不等式:对 Vaa2,a g R +,记M (a ) = 1
6、+ 2 + + 气,in.（调和平均值）H (a )=i 1111 顶 1 顶 1一 +一乙一乙一a.a2a n a a有均值不等式：H(a ) G(a ) 0,由二项展开式n(n -1)n(n - 1)(n - 2)3!(1+ x)n = 1 + nx +x2 +x3 + + xn,2!n (1 + x) n 1 + nx ,(n 1)(4) CauchySchwarz 不等式：Va,b (k = 1,2,n)，有Jab* k=1 k k)(5) Vn e N , n +113. O. Stolz 公式(2F lakbkl* k=1ln(1 + !) - n n寸乙a 2kk=1乎b 2k
7、k =1二、典型例题1.用“ - N ”“ G- N ”证明数列的极限.（必须掌握） 用定义证明下列各式：3n 2 + 5n +1 .lim= 1 ；nr 0，limx = a，则lim%.x =、.：a ； (97，北大，10 分)ns nns证明:ln nlim= 0 (a 0)n* na(1) V 0，欲使不等式3n 2 + 5n +13n 2 - n + 66n - 56n6n 6 =一 -，于是，V ” = 6 +1，当n N 时，有(2)于是，(3)3n 2 + 5n +113n 2 - n + 63n2 + 5n +1 lim6一 0,vx+ xaBN eN, Vn N，有 |
8、N，有 弓寸刁lim % xns一 ln n，因为2 以ln n 2 ln n a0 = 0，ln n 八ln n4r 4)a欲使不等式 -0=a.n an aaan 2kae J当n N时，有于是，农 0，取N = V +1, kas Jln n 4 s， n a aan 2limlnn=0.na评注1本例中，我们均将|七-。|做了适当的变形，使得|七-。| g(n) s，从而从解不 等式g(n) s中求出定义中的N .将|气一。|放大时要注意两点：g(n)应满足当n T8 时，g(n) T 0 .这是因为要使g(n) s，g(n)必须能够任意小；不等式g(n) 0，只要找到一个自然数N(s
9、 )，使得当 n N(e )时，有|七-a| 0,BN e N,Vn N，有 |x- a| 0,BN eN,Vn N，有 |x- a| 1, k e N)nT3 a n证明：(1)(方法一)由于nn 1 (n 1)，可令nn = 1 +人(九0 )，贝n = ( n) = (1 + 人)n = 1 + n人 + nn 人2 + +Mn nn_人2 ( n 2 )22n当 n 2 时，n -1 -，有n(n -1) n2n2 ,、n 人2 人2 =(nn 一 1)22440 tjn -1 0,欲使不等式njn-l =n-l 0,取 2V = max s +1,2 ,当 nN 时，有：nlimn = 1.ns（方法二）因为一 一 / X1 0,欲使不等式展T =柝124 i= 0,取2 二+ 1
