第15讲 模糊系统理论

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1、第15讲 模糊系统理论跟系统动力学差不多同一时期提出的对付复杂性的另一种理论方案，是LA.札德开创的模糊学，其中一个重要部分就是本讲介绍的模糊系统理论。第 1 节札德和模糊系统理论400年来，科学的发展越来越崇尚描述的精确、严格和定量，鄙弃描述的模 糊、不严格和定性。1883年，大物理学家开尔文（LKelvin）给这种方法论观点以 这样的表述：“在物理科学中，学习任何论题的关键的第一步是寻找它的数值计 算原理和与之有关的一些性质的测量方法。我常说，要懂得一点东西，你就必须 设法把这件东西测量出来并且把它表达为数字。相反，当你不能把它测量出来又 无法把它表达为数字时，你对这件东西的知识是贫乏而又

2、不充分的，知识可能开 始在你的头脑中出现，但无论如何，你的思想还未进入科学的境界。”为了避免 给学界同行以“思想还未进入科学的境界”的坏印象，科学家争相远离模糊的、 不严格的、定性的工作，越来越追求精确化、严格化和定量化。这种方法论观点显然也影响到新兴的系统科学，尤其是运筹学和控制理论， 从而忽视数学模型的经验含义和实际效果，一味追求定量化、精确化、形式化。 其结果，出现了被人讽刺为“X杂志的文章与X实践没有关系”的荒唐局面。札 德是以卡尔曼为代表的现代控制理论开拓者群体中的一员，也颇擅长这种精确、 严格和定量化的方法，在这一理论的建立和发展上颇有建树。例如，至今仍被控 制科学界采用的适应性概

3、念的定义就是札德给出的。不过，到20世纪60年代初， 面对控制论和运筹学向何处去的问题，札德对系统科学一味追求严格性、精确性 和定量化的发展方向产生了怀疑，开始跟卡尔曼等人分道扬镳。 1963年的一篇文 章已有所显示， 1965年在著名论文模糊集合中正式推出他的替代方案。札德新的科学思想和方法论的影响不限于控制论，也扩展到系统科学的其他 分支学科，形成模糊系统理论，进而又超越系统科学，在广泛的学科领域推动了 描述方法的模糊化。札德的创新实际是从数学开始的，形成后来被称为模糊数学 的数学新分支。现在又扩展到逻辑、语言、管理等领域，我们统称为模糊学。所 谓模糊学，就是以现实世界广泛存在的模糊性及其

4、在人脑中的反映为对象，以在 理论上把握模糊性、在实践上有效地处理模糊性为目标，所建立的概念体系和方 法论框架。札德不仅是模糊系统理论和模糊学的开创者，而且是这一新兴研究方向的持 续推动者。从1965年到90年代中期，每个十年他都有新的开拓，不断提出新思想、 新概念、新理论。有关论文相继集结出版， 1987年的模糊集与应用， 1996年 的模糊集、模糊逻辑和模糊系统， 2000年的模糊集与模糊信息粒理论，在 世界范围产生了广泛而深远的影响。模糊系统理论和模糊学在中国学术界引起热烈响应，形成了一支庞大的研究 队伍，刘应明、汪培庄等人都作出重要贡献。中国学者是国际模糊学研究的主力 之一。第2节 破除

5、精确性崇拜 科学理论的基本任务是揭示对象世界的奥秘，回答事物是什么和为什么的问 题，建立理论体系；进而应用理论于实际，回答做什么和怎么做的问题。基础理 论讲究的是真理性和真实性，实际应用讲究的是可行性和有效性，总之是描述的 有意义性。任何理论描述，不论它逻辑上多么严格，形式上多么漂亮，数值上多 么精确，只要它不反映对象世界的真实情况，就是没有意义的，因而是非科学的。科学的描述首先必须是有意义的描述。人们在很长时期内不自觉地认为，精确的描述一定是有意义的描述，模糊的 描述一定是没有意义的描述，越精确就越有意义。也就是说，科学的方法一定是 精确的方法，模糊方法一概是非科学方法，或者说是在没有找到精

6、确方法之前的 权宜方法。人们相信，精确化的范围是无限的，一切科学描述都需要并且能够精 确化，今天尚未精确化的东西，明天就可能精确化，用这种方法不能精确化的东 西，总可以找到别的方法使它精确化。这就是札德所说的现代科学的“精确性崇 拜”，它曾经有力地推动了科学的发展，形成可贵的科学精神。用中国语言来讲， 就是精益求精。但是，任何具体的真理都具有相对性。描述的精确性与描述的有意义性之间 的一致是有条件的，不可把对精确性的追求绝对化。一般来说，对简单性对象的 描述越精确就越有意义，至于复杂性对第15讲 模糊系统理论213象，精确的 描述未必一定是有意义的描述。或者说，能够精确描述是简单性的特点之一，

7、难 以精确描述是复杂性的特点之一。札德发现，随着系统复杂性的增加，人们对系 统作出精确而有意义的描述的能力就会降低，复杂性达到一定的阈值，精确性和 有意义性将成为相互矛盾的东西：精确的描述不再是有意义的描述，有意义的描 述不再是精确的描述。这是模糊学的一个基本假设，札德称之为不相容原理，或 称为互克性原理。对于复杂性，真正科学的描述必须抛弃精确性崇拜，科学技术应该从过高的 精确性要求上退下来，接受近似解的必要性和合理性，承认模糊方法也有其独特 价值和有效范围，建立和发展能够处理模糊性的科学方法。第3节模糊性的数学刻画复杂性的一种重要表现是模糊性。所谓模糊性就是事物类属的不分明性、不 确定性，一

8、个事物是否属于某一类不能苛求给出明确肯定的回答，只能说它在多 大程度上属于或不属于某一类事物。学习好与不好，汉语讲得流利与不流利，结 构是否良好，问题是否复杂，生活是否幸福，以及高温、大雨、低频、邻域、很 小的数，等等，都存在模糊性，不能简单地回答是或否，只能回答在多大程度是， 或者不是，要看问题的语境。1000是小数?或大数?或是很大的数?在不同语境下， 小数、大数、很大的数都有可能。模糊性的反面是清晰性。清晰性指的是事物类属的分明性、确定性，对于一 个事物是否属于某一类，是否具有某种属性，可以作出或是或否、明确肯定的回 答。贾宝玉是男性，林黛玉是女性，台湾是中国的一个省，英文是拼音文字，整

9、 数，分数，可微函数，可积函数，等等，都是清晰事物，是就是，不是就不是。 显然，现实世界既存在清晰事物，也存在模糊事物，既有清晰性，也有模糊性。 数学早已给出描述清晰事物和清晰性的方法，基础就是普通集合概念。给定集合 A和元素J, J要么属于A,记作工正A；要么不属于A,记作z茫A,二者必取其一， 且只取其一。为了定量地刻画这种精确隶属关系，数学引入集合的特征函数概念， 记作：为了数学地刻画模糊性，札德把属于关系模糊化，承认元素可以在一定程度上属 于（部分地属于）集合，又不完全属于（部分地不属于）集合；又把属于关系定量化 引入隶属度概念，记作/J,完全属于集合A的元素的隶属度为卢=1,完全不属

10、 于集合A的元素的隶属度为卢=o,部分属于又部分不属于集合A的元素的隶属度 为一个介于。与1之间的实数卢。这样就在元素工和隶属度之间建立起一种 对应关系/。（z）,称为A的隶属函数。A/a (工)=5 (1, OVptVloz完全属于At部分属于A(15. 2)工完全不属于A（15.2）式实际上定义了一个模糊集合A, fg 是它的隶属 函数。显然，隶属函数長（工）是特征函数（15. 1）的推广，即把 2）模糊化的结果。（15. 2）式实际上定义了一个模糊集合A，A（J）是它的隶属函数。显然，隶属 函数/ A是特征函数（15. 1）的推广，即把/（工）模糊化的结果。一般来说，一个大学生班上的所有

11、高个子组成的集合H就是一个模糊集合， 有些同学是公认的高个子,有的是公认的小个子,有的难以明确确定其类属。如 果指定身高1. 8米以上的隶属度为1，身高1. 6米以下的隶属度为0,介于中间 的个头给定一个介于1和。之间的数为其隶属度，就数学地刻画了高个子这个模 糊集合H。设班上共有8个男生a、b、c、d、e、f、g、h,把代表这些男生的字 母置于横杠下方，每个人的隶属度置于横杠上方，则模糊集合H的隶属函数通常 米用以下方式来表示：其中，符号“+”不代表加法运算，仅仅表示汇集或集合的意思。显然，确 定一个模糊集合的关键是给每个元素指定一个隶属度。隶属度并非可以实测的物 理量，它的确定往往取决于人

12、的经验。在处理模糊系统问题时，经验的意义就在 于能够合理地确定隶属度。关系是集合论的另一个基本概念。经典集合论讲的是精确关系，给定一个关 系R,兀素工和/要么具有关系及，要么不具有关系R,非此即彼，明确肯定。 数的大于、小于、整除等关系，父子关系，祖孙关系，都属于这种精确关系。近 似、远小于、平等、友好、远亲、近邻、面貌相近等关系却不同，z和/是否 具有这种关系无法作出明确肯定的判断，因为它们在一定程度上具有某种关系， 又不完全具有该关系。红楼梦中王夫人说晴雯长得有点像林姑娘，意味着她 也觉得不完全像。100是否远大于1,在不同的语境下有不同的判断。在给定的讨 论范围内，如果至少有一对元素工和

13、只是在一定程度上具有关系及，又不完 全具有关系R,就称R为一个模糊关系。远亲、近邻等都是模糊关系，现实生活 中的关系大多是模糊关系。类似于模糊集合，札德也把关系概念模糊化，用隶属度和隶属函数刻画模糊 关系。我们只考虑二元关系。一个从论域U到论域V的二元模糊关系R可以用一Xyza0.60.31b0.700.5个矩阵R来描述，矩阵的元素rij，只在0和1之间取值，r代表元素ui属于U和uj属 于V具有关系R的程度。矩阵R = （rij）就是模糊关系的隶属函数。设论域（集合）U = （a, b）； V = （x,y,z）, R是从U到V的一个模糊关系，分别给定元素对（a,x）、 （a, y）、 （a

14、， z）、 （b，x）、 （b，y）、 （b， z）对R的隶属度r，就得到模糊 关系R的定量刻画（15. 4）：其中，阶数值矩阵就是R的隶属函数，称为模糊矩阵R;IUb Ud 1 根据模糊性的特征，模糊数学给模糊集合和模R=糊关系定义了套运算，如模糊集合的并、交、补运07 o 05 J算，模糊关系的合成运算等。利用这些运算，就可以对模糊系统的行为特性进行模糊的定量描述，解 决某些涉及模糊系统的理论和实际问题。这些研究 成果构成模糊系统理论的内容。有兴趣了解这些模糊运算的读者，可查阅模糊数 学著作。第4节 模糊控制第12讲介绍的控制理论属于精确性科学，一个控制问题摆在面前，要求建立 精确的数学模

15、型，制定精确的控制规律，获取精确的数据，进行精确的分析、计 算、综合，形成精确的控制指令。一句话，追求精确性、定量化是控制论的基本 准则。但是，实际生活中大量控制问题无法应用、也用不着这种精确技术，而是利 用模糊控制的思想和方法解决的。朋友，让我们设想你已经迈进汽车族的行列。 你获悉某年某月某日上午八时在友谊宾馆有一个会议，它对你很重要。早餐过后， 你便驾驶自己刚买的奔驰车飞快地奔驰在北京的大街上。你比预定时间提前十分 钟到达那里，却发现停车场只剩下一个夹在两辆车之间很窄的空位，你只能把车 停在那里。这显然是一个控制问题。如果你懂一点现代控制论，头脑里有些精确 性崇拜，认定凡是实施控制，必须严

16、格按照控制论原理办，那你就得走下车来， 先测量距离、方向、角度等，再建立精确的数学模型，然后求解模型以获得精确 的控制规律，形成精确的控制指令，再上车据之操控方向盘，把车安全顺畅地停 在那个空位上。然而，在你尚未完成这项“科学研究”时，会议早已开完了。真 是糟糕，对精确性的崇拜使你失去一个难得的机会。当然，现实生活中的你一定不会如此迂腐，而是一边观察停车场的情况，一 边转动方向盘，反馈，调整，再反馈，再调整，几个回合下来，便顺利地把车 停在那个位置上。但你采用的不是精确控制理论和技术，而是模糊控制理论和技 术，控制指令是“向后开”、“向左一点”、“再向左一点”、“稍微向右一点”之模 糊用语。在精确性崇拜者看来，这种控制方法在理论上不值一提，却可以简便而 迅速地达到目的，远比精确性理论和技术优越。此类事例不仅在日常生