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1、高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳:名称椭圆双曲线图象yO1X-y-O1/定义平面内到两定点 Fi ,F2的距离的和为常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭圆即 |MF1MF2 2a当2a 2C时，轨迹是椭圆，当2a =2c时，轨迹是一条线段F1F2I当2a 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于|FiF2）的动点的轨迹叫双曲线.即|MF1 MF2 2a当2a 2c时，轨迹不存在标准 方程22焦点在X轴上时：与 y- 1a2 b222焦点在y轴上时：y-T Xr 1 a2 b2注：根据分母的大小来判断焦点在哪一 坐标轴上22焦点在X轴上时：匕 1a b
2、22焦点在y轴上时：与二 1 a b常数a,b,c的关 系22.2.na c b , a b 0,a 最人，c b, c b, c b22.2Cc a b , c a 0c最大，可以a b, a b,a b渐近 线焦点在X轴上时： 卫 0 a b焦点在y轴上时：0 a b抛物线:图 形JOi9JII上方 程2一，jy 2px(p 0)2c,c、y2px(p 0)2一，jx 2py(p 0)2一，jx2py(p 0)隹占八、p (7,0)2(-,0) 2p (0,7)2(0,92准 线xp.2x 2y iy考(一)椭圆221.椭圆的性质：由椭圆方程 二 。1(a b 0) a2b2(1)范围：
3、a x a,-b x a,椭圆落在x a, yb组成的矩形中。(2)对称性：图象关于y轴对称。图象关于 x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A ( a,0), A2(a,0) , B (0, b), B2(0,b)。加两焦点F( c,0), F2(c,0)共有六个特殊点。AA2叫椭圆的长轴， B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a, b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长
4、之比。e c e J1 (b)2。0 e 1。aa椭圆形状与e的关系：e 0,c 0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 e 0时(0,1)内常数e,那么这的特例。e 1,c a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2,此时也可认为是椭圆在 e 1时的特例。2 . 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3 .椭圆的准线方程2L；右准线12 ：x c22对于斗y71 ,左准线11 : xa b对于2xb21 ,下准线
5、11 : y2a一;c上准线12 ： y2222焦点到准线的距离 p a- c a b-(焦参数) cc c(二)双曲线的几何性质：1.(1)范围、对称性22由标准方程二、1,从横的方向来看，直线x=a,x =a之间没有图象，从纵的方向来看，随着xa b的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不 封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。(2)顶点顶点：A(a,0),A2a,0 ,特殊点：B(0,b),B2 0, b实轴：AA2长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一
6、差异。(3)渐近线2冬 1的渐近线y b2bxyc、x( 0)aab#(版权所有 翻版必究)(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比空-,叫做双曲线的离心率2a a.范围：e1双曲线形状与e的关系:Ve2 1 , e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔。2 .等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。(2)渐近线互相垂直；(3)离心率e 0,由万程y 2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标(X, y)满足不等式x0,所 以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方
7、和右下方无限延伸。(2)对称性以一y代V,方程y2 2px p 0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2 2px p 0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y2 2px p 0的顶点就是坐标原点。(4)离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e表示。由抛物线的 定义可知，e=1o【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程 .(1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;(2)和椭圆9x2+4y2 = 36有相同的焦点，且经过点(2, 3);(3)中
8、心在原点，焦点在 x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是阮一55 。a2=b2+c2及已知条件分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：(1)焦点位置可在x轴上，也可在y轴上21或y-162112(2)焦点位置确定，且为(0,J5 ),22y x 1 , (ab0),由已知条件有a b2.2a2 b252222、y x94 a 15,b10,故方程为三0 11510a2 b222(3)设椭圆方程为1, (ab0)a2 b2b c由题设条件有,_及a2 = b2 + c2,4a c .10. 51。
9、b= . 5,a,1022故所求椭圆的方程是 y- 1o105例2.直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1相交于A B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A B分别在双曲线的两支上?解：把y kx 1代入3x2 y2 1整理得：(3 a2)x2 2ax 2 0(1)22因此有两解： x y-1612#(版权所有 翻版必究)当 aJ3时，24 4a2由 0得展 a 66且a，3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须 x1x2故当 6Q a33或V3 a-2-0,所以 a 。3 或 a M。a 3V6时，A、B两点在同一支上；当 V3a J3
10、时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.已知抛物线方程为y2 2p(x 1) (p0),直线l:x y m过抛物线的焦点 F且被抛物线截得 的弦长为3,求p的值。1 .12 | y1 丫2 |2 | y1 y2 |k解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| 3.由距离公式 |AB| = v(xi -x2)2 (y1 y2)2则有(yi y2)2 9. 2,x y 1 ,22由2,消去x,得y 2py p 0y2 2p(x i)222(2P) 4P 0.yiy22p,yy2p .从而（y1y2)2(y V2Y 4y1 y2即（2p）24p2由于p0,解得p9234例4.过
11、点（1 , 0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于2线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线 2程.l对称，试求直线lA、B两点，直与椭圆C的方解法一：由c e= a亚，得Jb2 a21,从而 a2=2b2,c=b.2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, yy2xx22(yiy2)设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=- -x0又(x0,y0)在直线y=1x上, 2于是-x0- = 1,kAB= 1,设l的方程为y=-x+1.右焦点（b,0）关于l的对称点设为（xy则x by2解得x y由点（1,1b）在椭圆上，得.所求椭圆C的方程为对解法二：由e=- a设椭圆C的方程为9一 2,# 22yy0= 1 x0,9 o 91+2(1 b)2=2b2,b2= ，a2 -16816 2 1yb22 a=1,l的方程为y= x+1.1,从而 a2=2b2,c=b.2x2+2y2=2b2,l 的方
