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1、目录摘要1英文摘要21微积分产生的背景31.1萌芽时期31.2准备时期32微积分的建立42.1牛顿42.2莱布尼茨52.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较73微积分的发展及完善84微积分的应用94.1在数学学科中的应用94.2在其他学科中的应用125结语136致谢147参考文献摘 要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。微积分的发展过程，是从 微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。其 中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国 此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。 在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立
2、微积分的过程加以描述，牛顿和莱 布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献，就在于他们分别提出了微积分的基 本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。在微积分的 发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。应用方面则 是从数学学科和其他学科的应用来介绍的。关键词：微积分牛顿莱布尼茨黎曼积分Abstract： This thesis mainly talk about the development and application of calculus.The development of caculus can be seen from the three asp
3、ects : the backguound of its generatation ,its establish , its develop and its completion. Firstly simply introduced the idea of Eudoxus and Archimedes who were the famous mathematicians in ancient Greek in the budding period of calculus,the idea of Chinese mathematicians and some problems need to b
4、e solved in this period. Secondly we provide a detailed description of the outstanding contribution made by Newton and Leibniz. The two great men separately put forward the basic principles of calculus and some important concepts,like fluxion and they proposed the idea ofvariable” mathematics.Lastly
5、 we give a brief introduction of Euler,Cauchy and Riemanns accomplishment,which improved and perfected the calculus. The application of the caculas is introducted according to the application of the mathematic branch and other subjects.key words: calculus Newton Leibniz Riemann Integral浅议微积分的发展与应用微积
6、分学,是人类思维的伟大成果之一。到今天,微积分已成为基本的数学工 具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。同样微积分也有着久远的历史，它是 经过许多人的努力而建立起来的，下面就来简单介绍一下微积分的建立及发展过 程。1微积分产生的背景1.1萌芽时期微积分的萌芽出现得比较早，下面简单介绍一下。古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量， 如果以较大的量减去比它的一半大的量，再以所得量减去比这个量的一半大的量, 继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭法可看 作微积分的第一步，但没有明确地用极限概念，也回避了 “无穷小”概念，并证明 了“棱椎体积是同
7、等同高的棱柱体积的三分之一”。古希腊数学家阿基米德在处理力学问题的方法一文中阐明了 “平衡法”， 即“将需要求积的量（面积、体积等）分成许多微小单元（如微小线段、薄片等）， 再用另一组微小单元来进行比较，而后一组小单元的总和是可以计算的，但它要 借助于杠杆的平衡原理来计算”。实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积二43兀R3 ,且等于外切圆柱体积2.3。中国战国时代的庄子天下篇中的“一尺之棰 日取其半，万事不竭”， 就蕴涵了无穷小的思想。还有中国数学家刘徽，发明了 “割圆术”一一“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，
8、并求得圆周率 兀 a 3.14。但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。1.2准备时期公元17世纪前后，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的 情况下，出现了如下四个迫切需要解决的问题：（1）怎样用数学方法准确描述和 处理各种物体运动的问题。（2）怎样求曲线切线的问题。（3）怎样求函数极大值 与极小值的问题。（4）如何求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积的问题， 物体的重心，一个物体作用于另一个物体上的引力。正是这些问题的产生，让许多数学家开始用微积分的思想来解决问题，像德 国天文学家、数学家开普勒与旋转体体积的问题；意大利数学家卡瓦列里不可分 量原理；英国数学家沃利斯“无穷算
9、术法”，比如将幕函数积分公式axndx =暑推及到分数幕Jfqdx =严十=Lapq q，不过沃利斯仅对0 = 1的特例给 0Ip q 7+1 p + q出了证明；国数学家笛卡尔用代数方法求切线的方法一“圆法”；法国业余数学家费马求极大值与极小值的方法，按费马的方法，设函数f （x）在点a处取值，用a + e代替原来的未知量a，并使f （a + ）与f （a）逼近，消去公共项后，用e除两边再令e消失，即f（l 十 ）-f（a 7 = 0，此方程求得的a就是f （x）的极值 ee=0点；还有英国数学家巴罗在几何讲义中应用“微分三角形”给出了求曲线切 线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到
10、了重要作用。2微积分的建立17世纪后期，牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分。下面就介绍下两人创 立微积分的过程。2.1牛顿牛顿1642年生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭，从小勤奋好学，常常 思考大自然的道理，喜欢动手制做各种奇妙的玩具和器械。1661年，由于成绩 优秀考入英国剑桥大学三一学院，在此幸运地得到巴鲁教授的指导。牛顿对微积分问题的研究始于1664年。当时他反复阅读笛卡尔的几何学， 对笛卡尔求切线所用的“圆法”产生了极大的兴趣并试图寻找更好的求切线方 法。1665年，黑死病席卷伦敦，牛顿在获得剑桥大学学士学位后，不得不离开 剑桥，回到家乡避难.在躲避瘟疫期间，他继续探讨微积分并取得了
11、突破性进展： 将两个不相关的问题切线问题与求积问题联系起来，建立了两者之间的桥 梁，并称之为“流数术”（流数即后来的导数）。1666年5月，他又建立了“反 流数术”（即现在的积分法）。同年10月，牛顿将他这两年的研究成果整理成 一篇总结性的论文，此文现在被称为流数简论，它是历史上第一篇系统的微 积分文献。牛顿关于微积分的主要著作有三部:运用无穷多次方程的分析学（简称分 析学；流数法和无穷极数（简称流数法）和曲线求积术（简称求积 术）。在分析学中，牛顿给出一种曲线求积法，假定一条曲线曲线下的面积 Z已知是Z = axm他把x的无限小的增量叫做x的瞬，并用0（即现在用的dx）表示，0y （即现在用
12、的dy）是面积的瞬，则有z + 0 y = a （x + a ）m从第二个式子减去第一个，用0除方程两边，略去仍含有的0项，就得到 一，、一 r 、口 dZ一 ，.、一y = maxm-1。用现在的话来讲，一 二maxm一1 = y即面积在任意点x的变化率是曲 dx线在x处的y值。反过来，如果曲线是y = maxm-1，那么，在它下面的面积就是Z = axm。他还引进了不定积分，并得到了不定积分的若干基本性质，在牛顿以前，导 数同积分本质上是平行发展、互不相十的，它们的互逆性质在其前辈中并不十分 明确，牛顿的思想用今天的符号表示就是d = d j xf （t ）dt = f （x）dx dx
13、a牛顿是历史上第一明确揭示这种互逆关系并给出有效的计算方法的人这标 志着牛顿创立了微积分。关于求积问题，牛顿是将其视为求面积变化率的逆过程， 即今天常用的求积运算法不定积分法.在面积的观念上，牛顿不把面积视为无限 多个“无穷小矩形”面积之和，而把求积过程等同于求变化率的逆过程。这就是 今天的微积分基本公式“牛顿-莱布尼兹公式”。在流数法中，他认为变量是连续运动产生的，牛顿更清楚地陈述了微积 分的基本问题：已知两个流之间的关系，求它们流数之间的关系，以及它的逆问 题，牛顿称变化率为流数，称变化的量为流量，设X, y为流量，则它们的流数 量为x, y，在流数法中，牛顿从流数出发，清楚地陈述了微积分
14、的基本问 题是：“已知量的关系，要算出他们的流数，以及反过来”。比曲线求积法更一 般化。另外，牛顿指出若用0表示“无穷小的时间间隔”，那么X0和y 0就是和 的无穷小增量，或者说是X和y的瞬。有了流量、流数和瞬三个重要概念，牛顿 把它们广泛地用到几何问题和力学问题的求解上去，他用作曲线的切线,来求解 函数的极值问题，求曲线的曲率、曲线的长度，以及求以曲线为界的平面图形的 面积。后来，在求积术中，牛顿又使用了所谓“最初比”与“最终比”，但本 质上没什么新的内容。2.2莱布尼茨莱布尼茨于1646年7月1日，出生在德国东部莱比锡，从小学习了很多著 名学者的著作，为他后来成为举世罕见的科学家奠定了坚实
15、的文化功底和明确的 学术目标。1663年莱布尼茨在耶舒大学学习短时期的数学，并获得哲学硕士学 位。1666的莱布尼茨获得了该校法学博士学位。毕业后，便投身于外交界,工作期 间遍游欧洲各国，接触了数学界不少名流，访问巴黎时，深受惠更斯的启发，决心钻 研高等数学，并仔细钻研了大数学家笛卡儿、费尔马、怕斯卡等人的名著,为他后 来的开创性工作，打下了坚实的基础。1673的莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会 员，这时，他的兴趣和爱好已完全投入于数学和自然科学之中，他开始了对无穷小 算法的研究，终于在1675年到1676年间，他创立了微积分（当时他称之为“无 穷小算法”）。莱布尼茨的创造性研究，首先是试图寻找一种求面积的通用方法，并且谋求 具有普遍性的数学表达式。而他的研究路径则是从“求单位圆的四分之一面积” 这样的具体问题开始的。在研究过程中，他充分运用了无穷级数，还获得了一些 重要的展开式。例如，他得到过一个关于兀的十分漂亮的表达式：1111兀 =1 + + .3 5 7 9后人把它称为莱布尼茨级式。后来莱布尼茨充分了解求曲线的切线的重要意义，并且领悟到求曲线切线的 逆问题可等价于通过求和来求面积。当考虑切线、面积问题时，他从离散序列的 差值与求和逐步过渡到任意函数的差值与求和。他用X表示序列中项的次序，用 y表示这一项的值。当他看到巴罗求曲线的
