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1、第四章随机变鼠的数字特征李昌兴1530py = 4 = - = ,PK = 9 =3030即Y的分布律为Y2349Pk21549303030303030所以砒) = 2xZ+3x2 + 4丄+ 9x?3030303015系别班级姓名学号作业11随机变量的数学期望一、(1)在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个 数，写出K分布律并求E(X).“THE GIRL PUT ON THE BEAUTIFUL RED HAT(2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母，以丫表示取到的字母所在单词 所包含的字母数，写出丫的分布律并求E(Y).解(1) X的可能取值为2, 3, 4,
2、9易知其分布律为X2349Pk15118888的E(X) = 2x存以十4*9x討罗y的可能取值为2, 3, 4, 9 py = 2 = - = ,Fy = 3 = 303030二、某产品的次品率为0. 1, 检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品 进行检验，如发现其中的次品数多于1,就去调整设备，以X表示一天中调整设备 的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).1 第i次检验需调整设备则0 ,第i次检验不需调整设备x = Xjr-14E(X)=E(Xj = 4E(Xj) = 4xlxPXj = l+0xPE =01-1px, = 1=1-PX.= 0= l_C；o(Ol)(
3、O9)g 0.26381-0故 E(X) = 4x0.2638 = 1.0566.3丿2三、设随机变量X的分布律为尸*=(-1)田一=冇，7 = 1,2, .,说明X的数J 3，学期望不存在.证明由于X0C 2 jZk|=Zvx(-1)； 7J-l/=1 3Joc= E(-i) 1t-=1 J所以级数非绝对收敛，故由定义可知X的数学期望不存在.y-l四、有3只球.4只盒子，盒子的编号为1, 2, 3, 4将球逐个独立地、随机地放入4只盒 子中去以X表示其中至少有一只球的盒子的最小编码(例如，X=3表示第1号，第2号盒子 是空的，第3号盒子至少有一只球)，试求E(X).(参考概率论与数理统计辅导
4、，陕西教 育出版社,2009. 6, P60,例2)五.设随机变量X的密度函数为/(x) = e2kl,求E(X)9E(X2).解由已知条件E(X)= xf(x)dx = xe2lxdxJ-00J -coE(X2) = f x2f(x)dx =匚 x2e-dx = 2p x2e-2xdx =-CO-CO02六. 设随机变量X服从参数为；i的泊松分布(20 ),且已知 E(X 2)(X 3)=2,求兄的值.解由于E(X) = 2, D(X) = A又E(X_2)(X_3)=Ex2_5X + 6=E(x2)_5E(X)+6所以由 E(X- 2)(X 一 3) = 2 得A2-4A + 4 = 0所
5、求2 = 2.e-xV 0求仃)y = 2X ;0, x W 0Y = e-2x的数学期望.解(1) y = g(x) = 2x是连续函数，所以E(Y) = Eg(X) = g(x)/(x)Jx = p2xexdx = 2xexx If + 2pexdx= -2e-x If =2y = g(x) = e2x是连续函数，所以E(Y)= ES(X)=e2xedx =匸尸仏=卜亠-#第四章随机变彊的数字特征李昌兴0, x 4.解由已知条件/(x) = F7x) = h，OS*0,其他.E(X) = xf(x)dx = J。x dx = 2九、设(X,Y)的概率密度为f(x,y) =4X 11ax =
6、-4 42n宀求E(X), E(Y),0,其它.E(XY), E(X2 + y2)解由已知条件 卩：12血l 0,C12y2dx,Jy0,xw0,l,|4j3其它.0,1,0, 其它.f(y)=g0,l, |12j2(1-j), j e 0,1,0,其它.其它.EF(X)二匚 F(x)/(x)Jx =E(X) = J； xf(x)dx = ，4x4rfx = |aE(Y) = yf(y)dy = 12yl-y)dy = -E (AT)=匚匚 xyf x.ydxdy = J ： J： xylly 2dydx = jE(X2 + Y2)=E(X2)E(Y2) = x2f(x)dxy2f(y)dy=
7、J： 4血 + J： 12h(l _ 恥 弓+ # =善十、将只球(1-号)随机地放进”只盒子(1-号)中去，一只盒子装一只球，若一只球装 入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X).(参考概率论与数理 统计辅导，陕西教育出版社，2009. 6, P95,例14)十一、某个商店经过长期的统计，获知本商店每月销售海信牌电视机的台数X服 从区间10, 30上的均匀分布，该商店每销售一台海信牌电视机可获利润500元； 如果月初进海信牌电视机太多，而销售不完，则月末必须削价处理，每处理一台电 视机亏损100元；否则，可从外部调剂供应，此时每销售一台海信牌电视机仅获利 300元，为使
8、该商店所获利润期望值不少于9332元.试问该商店每月月初需进海信 牌电视机多少台？（参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6, P99, 例22）十二、一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障.假 设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为1和 05（千小时），试求线路无故障工作时间X的数学期望.解 设第一个中间站无故障工作的时间为第一个中间站无故障工作的时间 为X-那么FY（x）=Pmin（JV1,X2）x=FYi（x）+FY2（x）-FXi（x）FY2（x）=J1-0 匚 x 0,I 0, “0所以A(x)=从而 E(X)=xf(x
9、)dx=-# -第四章随机变鼠的数字特征李昌兴系别班级姓名学号作业12 随机变量的方差、协方差和相关系数(I)一、设随机变量X,丫相互独立，且E(X) = E(y)=l,D(X)=2,D(Y) = 3,求 D(XY)解由数学期望的性质D(XY)= EX2Y2 E2(XY)= E(X2)E(Y2)- E2(X)E2(Y)= D(X)4-E2(X)D(y)+E2(y)-E(X)E(y)=ll二、设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)=ee e, x，其中0, x V 0,&0是常数，求E(X),D(X)解由已知条件+ 1 X= xf(x)dx = x-e dx = 0E(X2) = jx2
10、f(x)dx = JJ*F 丄edx = 2O1D(X) = E(X2)-E1(X) = O1x 寿n三. 设随机变量X服从瑞利分布，其密度函数为/(x)彳产，”U,其0,兀0是常数.求E(XD(X).解 E(X) =密兀必=心&=:+3%=匸小怙=舟E(X2) = JJ*各/2么=_广占严2/2一严2兀十笃严/2认2 = _2夫处+OD=2a20 J。0故D(x)= E(X2)-E2(X) = 2a2-a2 =2 2四. 设随机变量X服从几何分布，其分布律为PX=k=p(l-p)k-k = 1,2, 其中0 p5,0, y 5/|2x, 0 x 1,、皿)彳。,其他.川恥 试求Z = XY的
11、数学期望与方差.解由已知条件E(X) = J4*xf(x)dx = j： x 2xdx =-CD03E(X2)=x1 f (x)dx = (2 -2xdx =J-ooJO2E(y )=匚 yfY(y)dy =广E(Y2) = y2fY(y)dyy2-e-(5-y)dx = 37#第四章随机变鼠的数字特征李昌兴E(XY)= E(X)E(Y) = 4D(XY) = EX2Y2-E2(XY)= E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y) = -2六.设随机变量(X,Y)的分布律为F(X = l,Y = 10) = F(X = 2,y = 5) = 05,试求PxY解根据已知条件E(X) = 1x0.
12、5+2x05 = 15, E(X2) = I2x0.5 + 22x0.5 = 2.5 E(y) = 5X0.5 +10X0.5 = 7.5, E(X2) = 52x0.5 + 102x0.5 = 62.5 D(X) = E(x2)_e2(x) = 025, D(y)=E(y2)-E2(y) = 6.25 Cov(X,y)=E(Xy)-E(X)E(y) = -1.25于是Cov(x,y)七、设X. 丫为随机变量，已知D(X) = 9,D(y) = 4,pvy =-|,试求D(X + Y).6D(X-Y + 4).解根据访查性质D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,y)= D(X)+
13、D(y)+ 2pXY(D(X)jD(Y) = 11 D(X-Y + 4)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) =D( %) + D( 丫)一 2pXY JD(X)JD(Y) = 15 八、设二维随机变量(x,y)的密度函数为fA(x +j), I 0，02,02,其它.#第四章随机变鼠的数字特征李昌兴求A, E(X),E(y), Cov(X,y), pXY , D(X+Y)(参考概率论与数理统计辅导，陕#第四章随机变彊的数字特征李昌兴西教育出版社，2009. 6, P102,例28）*拿拿拿*拿拿拿拿拿*拿拿拿拿*拿車車拿拿*拿拿拿拿車拿拿拿車*拿拿拿*車拿拿九、设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N（“,bj（1）设 1/ = aX + 0丫和V = aX -0丫（其中戸是不为零的常数）,求仇少;求max（X,y） 的数学期望；（3）求min（X,r）的数学期望.（参考概率论与数理统计辅导，陕西教 育出版社，2009.6, P108,例 36）-# -第四总随机变鼠的数字特tn：李鬥兴系别班级姓名学号作业13协方差和相关系数（II）.矩.协方差矩阵一、设随机变量（X,Y）在
