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1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练b b2 4 ac对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，当判别式b2 4ac 0 时，其求根公式为： x1、2b b 4ac ；当1 2 2abc0时，设一元二次方程的两根为 x1、x2 ，有： x1 x2， x1 x2；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的aab c 2逆定理也是成立的，即当 x1 x2， x1 x2时，那么 x1、 x2则是方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两根。一元二次方程aa的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，除了要 22求熟记一元二次方程 a
2、x2 bx c 0(a 0)根的判别式 b2 4ac 存在的三种情况外， 还常常要求应用韦达定理解答一些 变式题目，以及应用求根公式求出方程ax2 bx c 0(a 0) 的两个根 x1、x2 ，进而分解因式，即 2ax2 bx c a(x x1)( x x2) 。下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例 1：已知关于 x 的方程 (1) x2 (1 2a)x a2 3 0有两个不相等的实数根， 且关于 x 的方程 (2) x2 2x 2a 1 0没有实数根，问 a取什么整数时，方程 (1) 有整数解分析 ：在同时满足方程
3、 (1) ，(2) 条件的 a的取值范围中筛选符合条件的 a 的整数值。 解：说明： 熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定 a 的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技 能和一定的逻辑推理，从而筛选出a，这是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例 2：不解方程，判别方程 2x2 3x 7 0 两根的符号 。 判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中x1 x2 0 ，所以可判定方程的根为一正一负；倘若x1x20 ，仍需考虑x1x2 的正负，倘若x1x20 ，则方程有两个正数根；倘若x1x20 ，则方程有两个负数根。说明
4、： 对于 ax2 bx c 0(a 0) 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式但 只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定x1 x2 或 x1 x2 的正负情况。因此解答此类题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 x1 x2 或 x1 x2 的正负情况。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例 3：已知方程 x 2 6x m2 2m 5 0 的一个根为 2，求另一个根及 m的值。分析： 此类题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把 x=2 代入原方程，先求出 m的值，再通过解方程办法求出另 一个根；二是利用一元二次方程的根
5、与系数的关系求出另一个根及m的值。解法一： 解法二：例 4：已知方程 x 2 2(m 2)x m2 4 0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求 m的值。分析：解：本题若利用转化的思想， 将等量关系 “两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于 m的方程，即可求得 m的值。0，应舍去不合题意的 m。说明： 当利用根与系数的关系求出 m后，还需注意使用韦达定理的必要条件四、运用判别式及根与系数的关系解题。例 5：已知 x1、x2是关于 x的一元二次方程 4x2 4(m 1)x m2 0的两个非零实数根，问 x1和 x2能否同号若能同号， 请求出相应的 m的取值范围；若不能同号，请说明
6、理由。解：说明： 一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根 的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力 试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，是重点练习的内容。五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例 6：已知 、 是方程 x2 2x 5 0 的两个实数根，求 2 2 的值。分析： 本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一： 解法二：说明： 既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法
7、，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题 可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力。六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。22例 7：已知两方程 x2 mx m 5 0和 x2 (7m 1)x 13m 7 0 至少有一个相同的实数根， 求这两个方程的四个实 数根的乘积。分析：可设两方程的相同根为 ，根据根的意义， 可以构成关于 和 m的二元方程组， 得解后再由根与系数的关系求值。说明： 本题的易错点为求解出关于、 m的二元方
8、程组后，忽略 m对方程和判别式的讨论。 与韦达定理综合训练一、填空题：1 、如果关于 x 的方程 x2 6x k 0的两根之差为 2，那么 k=。2 、已知关于 x 的一元二次方程 (a2 1)x2 (a 1)x 1 0两根互为倒数，则 a=。2 1 1 33 、已知关于 x 的方程 x 3mx 2(m 1) 0的两根为 x1、 x2 ，且，则 m=。x1 x242 2 24 、 已 知 x1、x2 是 方 程 2x2 7x 4 0 的 两 个 根 ， 那 么 ： x12 x22；(x1 1)(x2 1)； x1 x2。25 、已知关于 x 的一元二次方程 mx2 4x 6 0的两根为 x1、
9、x2 ，且 x1 x2 2，则 m=；(x1 x2) x1x2。6 、如果关于 x 的一元二次方程 x22x a 0的一个根是 1 2 ，那么另一个根是，a的值为。7、已知 2 3是 x2 4x k 0的一根，则另一根为，k的值为。8 、一个一元二次方程的两个根是 2 6 和2 6 ，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1 、已知 x1、 x2是方程 2x2 3x 1 0的两个根，利用根与系数的关系，求x13x2 x1x23的值。2 、已知 x1、 x2 是方程 3x2 2x 10 的两个根，利用根与系数的关系，求(x12 x22)2 的值。3 、已知 x1、 x2 是方程x15 x22
10、x12 x25 的值。22x2 3x 4 0 的两个根，利用根与系数的关系，求4 、已知两数的和等于6，这两数的积是 4，求这两数。5 、已知关于 x 的方程22x2 (m 1)x m 1 0 的两根满足关系式 x11，求 m的值及方程的两个根。6 、已知方程 x2 mx24 0和 x2 (m 2)x 16 0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。三、能力提升题：1 、实数 k 为何值时，方程 kx2 2kx (k 1) 0 有正的实数根212 、已知关于 x 的一元二次方程 x2 (m 2)x m 3 02(1) 求证：无论 m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2) 若这个方
11、程的两个实数根 x1、x2 满足 2x1 x2 m 1，求 m的值。3 、若 n0，关于 x的方程 x2 (m 2n)x 1mn 0有两个相等的正的实数根，求 m 的值。4n4 、是否存在实数 k，使关于 x 的方程 9x2 (4k 7)x 6k2 0的两个实根 x1、x2 ，满足x1x233 ，如果存在，试求出满足2条件的 k 的值，如果不存在，请说明理由。1 1 ，求 m的值。x1 x25 、已知关于 x 的一元二次方程 m2x2 2(3 m)x 1 0(m 0) 的两实数根为 x1、 x2 ，若6 、实数 m、 n分别满足方程 19m2 99m 1 0和19 99n n2 0 ，求代数式
12、mn 4m 1的值。答案与提示：、填空题：1 、提示： ， ， ，2 、提示： ，由韦达定理得： ， ，解得：，解得： ，代入检验，有意义， 。3 、提示：由于韦达定理得： ， ， ，解得： 。4 、提示：由韦达定理 得：，设 0， 0，则可判定方程的两根异号。有两种情况：；设 0，5 、提示：由韦达定理得： ， ， ， ， ，6 、提示：设 ，由韦达定理得： ， ， ，解得： ，即 。7 、提示：设 ，由韦达定理得： ， ， ， ，8 、提示：设所求的一元二次方程为 ，那么 ， 即 ； ；设所求的一元二次方程为： 二、 求值题：1 、提示：由韦达定理得： ，2、3 、提示： 由韦达定理得：，
13、4 、提示：由韦达定理得： ，5 、提示：设这两个数为 ，于是有 ，因此 可看作方程 的两根，即， ，所以可得方程： ，解得： ， ，所以所求的两个数分别是 ，。6 、提示：由韦达定理得 ，化简得： ；解得： ， ；以下分两种情况：当 时，组成方程组：；解这个方程组得：当 时，组成方程组：；解这个方程组得：7 、提示：设 和 相同的根为 ，于是可得方程组： ； 得： ，解这个方程得：；以下分两种情况： （ 1）当时，代入得（2）当 时，代入得 。所以 和 相同的根为 ， 的值分别 为，。三、能力提升题：1 、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式0； 0， 0；于是可得不等式组：解这
14、个不等式组得： 12、提示：1）的判别式2）利用韦达定理，并根据已知条件可得： 0，所以无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（解这个关于 的方程组，可得到： ， ，由于 ，所以可得，解这个方程，可得： ， ；3 、提示：可利用韦达定理得出0， 0；于是得到不等式组：求得不等式组的解，且兼顾 ；即可得到 ，再由 可得： ， 接下去即可根据 ， ，得到 ，即： 44 、答案：存在。 提示：因为，所以可设（ ）；由韦达定理得： ，；于是可得方程组：解这个方程组得：当 时， ；当时， ；所以 的值有两个： ；5 、提示： 由韦达定理得：，则，即 ，解得：6 、提示：利用求根公式可分别表示出方程和 的根， ， ， ，又 ，变
