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1、高考圆锥曲线定点定值技巧一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法1. “特殊”探求例1.已知直线过点M (m, 0)(m 0)且与抛物线 乎2px (p 0) 交于A(X, y1)、B (x 2， y2)两点，求证：xx2,y2均为定值，并求这个定值.解：特殊位置的探讨：如图 1,当过点 M(m?0)(m0)的直线与x垂直时2X x2= m2, y1 y2= 2pm； 一般性的证明：如图2,当过点 M ( m，0)( m 0)的直线与x垂直时，设过点M (m，0)(m 0)的直线方程为：x ty m【“基本特征式”的运算】.x ty m 92 2由 2 y 2pty 2pm 0y y2= 2p
2、mx x2=m2ey 2 2px小结：定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况； “特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置 (空间图形的平面轨 迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥一正四面体)、初始值(如数列 问题，首先用气、a2、a3求出满足条件的参数，再证明一般的情况)； 华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状态，退到最简单的位置”，即“特 殊探路； 直线与x轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数.有了 “特殊”探路的解题意 识，相反能提高警惕，提高得分能力; 相关结论：当直线过焦点时， Xi X2 =，y1 y2= P2 ；当直线过点4P P 2乙(，
3、0)时，x x2= , y1. y2= P2；2422例2.（09、辽宁）已知椭圆Cx y 1. E、 F是椭圆C上的两个动点，43点A（1，3）是椭圆上的一个定点.如果直线 AE、AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.解：“特殊”探讨：取点F （ 2，0）（即右顶点）kAE 32直线AE的方程：y 32X,由yxx13 yF yE 0 ( 3) xF xE 2 ( 1)一般性的证明：设过点 A，23）的直线方程为:m（x 1) 3y m( x223x 4y1)123+4 m2)x2 +4 m(332 222m)x 4( m) 2 124( 3 m)2 12设方程的两
4、根为x1 xa，则x1 - xa = x1 x1 = 222分别用“ k ”“k”替换“ m ”k )2 1224k2xF = 4k 212k 322 6k4k 2 12k24k 2 326k 2 6ky E kxE( 6k 26k) ( 6k 2 6k )所以直线,9,92y22 2F yEEF的斜率yy2 2xF xE(4k2 12k 3) (4k 2 12k 3)1 .即直线2EF的斜率1为定值，其值为12小结：取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序;上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担.2. 与参数k无关”p 0）交于 A （ x1， y1 ）例3.已知直线
5、L与抛物线y2 2 px （ （x2，y） 两点且X1.124求证：直线L经过定点并求出这个定点的坐标.解：直线L X轴，设其方程为X（m 0） A（m，0）， B（m，0）pp2242由m 0 m直线Lxi - x2 = m .又 xi x2 f过定点（p0）.y kx m y2当直线L不垂直于x轴时设其方程为y kx m，由 2 nv乙 px22 k x（2km 22p）x m2 0x1x22 2 2mp2，又 xi - x2 =k4k2m2当x p时，2（p，0）-2小结：“与参数kp直线Ly 0，“与参数k无关”直线L过定点（尸0或定点用：a b 0 x R ;p y kx m y k
6、（ xk无关”，是初一年级关于方程“ ax b ”解状讨论的直接应“与参数k无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论.22例4.例10. （07、湖南理21）已知双曲线x2乎2的左、右焦点分别为Fi， F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点.【直接法求轨迹】i M F M F A F B F O （其中O为坐标原点），求占M的轨迹方程.，;（）右动点满足 iiii（2）在x轴上是否存在定点C，使CA CB为常数？若存在，求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由.解：（i）由条件知 Fi （ 2, 0） ，F2 （2, 0），设 A （xi，yi），B （ x2， y2 ） .
7、设M （x，y）.第一步：“基本特征式”：设A（xi，yi）， B （x2， y2 ），直线 AB： x ty 2.x ty 2 22(t2 1)y2 2 4ty 2 04yiy2tt 1第二步：向量特征4 x1 x2 t 2 1F1O (2, 0荒B：( x22,2F1M F1A F1BF1M (x 2，y) y2)，由 6 y y1 y2(*1),，F1A ( x1 x 2 x1 x2 2,y1)x x y x41 2 y1F1F1Oy2第三*2)y 2步：代入（整体）4由(*1)与 (*2)第四步：消参：（】）！（t所以点M的轨迹方程是（CA.若不存在，请说明理由】解：假设在x轴上存在定
8、点224t2)t(1)11y 46) 2【点(2)yC (m, 0)，代入（气）：2 （ xm 6）2CB）在x轴上是在存在定点C，使CA CB为常数.C的坐标;第一虫：先(k 1),A (x1，y1) , B(x9,乙y2特殊探讨.当AB与x轴垂直时，点A, B的坐标为（2,2） ,（2, 2） CACB（1, 2） （1，2） = 1=常数；第二步：再解决一般情况.【以下是基本“特征式”的运算】当AB不与x轴 垂直时.两设：设直线AB的方程是y k（x 2）方程组一一元二次方程一基本“特征式”y k( x 1)x2 y2 24k 22 2 2 2(1 k2 )x2 4k2x(4k2 2)
9、0xx1 2 1 k24kx12运用基本“特征式”求解问CA CB (k 2 1)x1x2 (W 2 m)( x x2) 4k 2 m2CA CB (k2 1)(4k2 2) 4k2 (2k2 m)疽2(1 2m)k22 24 4m乙2(1 2m) 2 m2K1因为CA CB是与K无关的常数，所以4 4山0,即口 L此时CACB=_1.【与 例1的注，用“与K参数无关”的方法求定值】综合：在x轴上存在定点C，使CA CB = L小结：定点、定值的题目K参数无”的多项式；第二步，中，若存在(大多数是“隐含”条件)“与类的语句，求解方法是：第一步，将表达式关” K一关于“参数 令含“参数K ”的项
10、的系 数为零，即得到求解结论；其理论依据：若关于x方程ax b的解为R a b 0，即“零”多项式理论；若关于x方程ax 2 bx c 0的解为R a b c 0，即“零次”多项式理论；若关 于x的函数f(x) (2m 1)x2 (2K 2)x 2m K的值与x无关函数f (x)是常 数函数 所有含x项的系数=0，即“零次”多项式理论；一般地，这类题目的运 算结果，总是含有两个参数：“无关参数K ”和“待求 参数m ”而本题很特殊： 含“无关参数K ”是关于“参数K ”分式，增加了问题的难度.例5 . (2011、武汉市第 二次质检、三中供题)已知点P(x，y0)是椭圆2X 2x0xE： y2
11、 1上任意一点x0y0 L直线1的方程为。22y0y 1 . (1)判断直线1与椭圆E交点的个数；(2)直线L过P点与直线1垂直 点M( 1，0)关于直线10的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标.x2/、2. J1解：(1)由次0寸2220 2y0 2 20 0 x x0x 1 y0 40 = 0直线1与椭圆E只有一个交点.(2)直线 L 的方程为x0(yy)2y(xx0)2yxxyx0y00.设M( 1,0)关于直线1。的对称点N的坐标为N(m，n)n m 1 2yn00m12y m 1八0 20n x0y0 02x03 3x02 4x0 4x02 42x04 4x03 4x02
12、 8x0直线PN的斜率2 0 0nKm直线PN的方程为:4)x04 4x03 2x02 y y0Iy02y0(4 xjx0 x0踞xk 哪482尸0(0&3需即 x42y0(x 4恒过定点G(1，0).4)3x03 3x202.4x03 2x02 8x0 8y 13直线PN小结：这道题是证明的圆锥曲线的光学性质，先猜想直线PN经过另一个焦点G(1, 0)，然后再给予证明；本题虽然计算量很大，但有了猜想的导向，运算方向清晰，中间过程可以猜想 性的 表述.二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部一整体的重组”小学解应用题的方法“先列分步式，再列综合式”，是数学解题的基本要求.数 学 思维的有序性体
13、现为解题的顺序性.“先解决一个子问题，再解决一个子问题，.当 把所有的子问题完成，一个综合性的难题得到了解决”数学顺序非常重要，“设问语句干扰性”的题目，曾经使我们吃号不小究其原 因，是选择题设条件的顺序不当造成的.“数学是模式与顺序的科学”，在处理复杂 的问题时，更应遵守这条原则.从功利性目标考虑，每一个子问题的解决，都是得分哇！解析几何中的数学顺序，表现为“由局部一整体的重组”，“整体消参”而“对 称运算”与“对偶运算”是强力支撑.例5.(08、武汉模拟)过双曲线m2X2 y2= m 2的右顶点A，作两条斜率分别为 J k2的直线AM、AN，交双曲线于M、N.其中、.虹=叫、+ k20，且ki k2，求直线MN的斜率为定值，并求这个定值.解：【分析：题设条件是kik2= m2，提示了解题顺序.先局部地分别求出 ki、k2，然后重组为k1 . k2 = 设过右顶点A(10)m2.可以预定：一定能消除参数(x 1)的直线方程：y kxi所以
