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1、第 2 章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因, 但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.L. Eurler( 欧拉 )(1707-1783,瑞士数学家 )E. Schmidt 在1908 年讨论由复数列组成的空间( zi ) :| zi |2 时引入记号i 1| z |( zi zi )1, | z |.F . Riesz1918来表示后来就称为在2z 的范数 赋范空间的公理出现在i 1年关于 C a, b 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在1920到 1922年间由S. Banach（ 18921945）、H . Hahn（187
2、9 1934）、E. Helly（ 1884 1943 ）和 N . Wiener（ 1894 1964）给出的 ,其中以 S. Banach 的工作最具影响 .2.1 赋范空间的基本概念线性空间是Giuseppe Peano 在1888 年出版的书Geometrical Calculus中引进的 . S. Banach 在 1922 年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach空间 .他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义2.1.1 设 K 是实数域R 或复数域 C , X 是数域 K 上的线性空间,若
3、| |是 X 到 R的映射 ,且满足下列条件：(1)| x |0 且 | x |0 当且仅当 x0 ;(2)|x | | | x |,对任意 xX 和任意K;(3)| xy | | x | y | ,对任意x, yX.则称 | |为X 上的范数,而 | x |称为x 的范数,这时称(X, |) 为赋范线性空间.明显地,若(X,|)为赋范线性空间,则对任意x, yX ,定义d( x, y)| xy |时 , ( X , d ) 为 度 量 空 间 , 但 对 一 般 的 度 量 空 间 (X , d ) , 当 X 为 线 性 空 间 时 , 若 定 义| x |d( x,0) ,则 | x |
4、不一定就是 X 上的范数 .例 2.1.1 设 s 数列全体 , 则明显地 , s为线性空间 , 对任意的 x, ys , 定义d (x, y)| xiyi|i!(1| xiyi |)i1则d (x,0)| xi|i !(1 | xi|)i1但d (x,0)| xi| | d ( x,0)i !(1| | xi|)i 1取 x0(1, 0,0), 01, 则211d (0 x0 ,0)21312而|0 | d ( x0 ,0)111224因此d(0 x0 ,0)|0| d ( x0 ,0)所以 , d (x0 ,0)不是 s 上的范数 .问题2.1.1 对于线性空间X 上的度量 d , 它满足
5、什么条件时, | x |d ( x,0) 才能成为范数？定理2.1.2设X是线性空间, d是X上的度量 在X上规定 | x |d (x,0),则X成为赋,范线性空间的条件是：(1)d ( x, y)d ( xy,0) ,对任意 x, yX；(2)d ( x,0)| d( x,0) ,对任意 xX 和任意K .下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3对于 l1( xi ) | xiK , | xi| , | x | xi |是 l1 的范数 , 即 (l1 ,| |)i 1i 1是赋范线性空间 .例 2.1.4对于 1p, l p( xi ) | xiK ,| xi |p 在范数i 11|
6、 x | (| xi | p ) pi 1下是赋范线性空间.例 2.1.5l( xi ) | xiK , sup | xi | 在范数 | x |sup | xi | 下是赋范线性空间.例 2.1.6c0 ( xi ) | xiK , lim xi0 在范数 | x | sup | xi | 下是赋范线性空间 .i例 2.1.7C a, b x(t) | x(t)为 a,b 上的连续函数 , 在范数 | x | sup | x(t) | 下是赋范线性空间 .由于赋范线性空间在度量d ( x, y)| x y | 下是度量空间 ,因此 ,在度量所引入的序列收敛 ,开 (闭 )集、稠密和紧集等概念
7、都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间 xn X , x0X , 若 xn 依度量 d (x, y)| x y |收敛于 x0 , 即 lim | xnx0| 0 ,则称 xn 依范数 | |收敛于 x0,记为nxn|x0在赋范线性空间中,仍然用 U ( x0 , r ) xX | xx0 | r 记以 x0 为球心 , r 为半径的开球 ,用 B( x0 , r ) x X | | x x0 |r 记以 x0 为球心 , r 为半径的闭球. 为了方便 ,用SX x X | | x |1记以 0为球心 ,1 为半径的闭单位球面 . 用 BX xX | x | 1 记以
8、0 为球心 ,1 为半径的闭单位球. 用UX xX | | x | 1 记以 0 为球心 ,1 为半径的开单位球.例 2.1.8 在 Euclid 空间 R2中 ,对于 x( x1 , x2 ) 可以定义几种不同的范数:| x |1 | x1 | x2 |1| x |2(| x1 |2| x2 |2 ) 2| x |3max| x1 |, | x2 |则对 x0(0, 0), r1, 闭球 B(x0 , 1) 在不同范数下的形状为：B1 x | | x |11B2 x | x |21B3 x | | x |31思考题2.1.1设 ( X , | |) 是赋范线性空间, 问开球 U (x0 , r ) 的闭包是否一定是闭B( x0 , r ) ?思考题2.1.2 设 (X, |) 是线性空间 ,问闭球 B(x0 , r ) 内部是否一定是开球U (x0 , r ) ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的 .定理 2.1.8 若 ( X ,|) 是赋范空间 xnx0 , yny0 ,则 xnynx0y0 .证明 由 | ( xnyn )(x0y0 ) | | xnx0 | yny0 | 可知定理成立 .定理2.1.9 若 (X ,|) 是赋范空间 , xnx0 , 则 | xn | x0 | .证明由 | xn|
