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1、章末整合对点讲练一、正、余弦定理解三角形的基本问题【例1 在厶ABC中，(1)已知 a =J3, b=J2, B= 45 求 A、C、c；已知 sin A : sin B : sin C= ( 3 + 1) : ( 3 1) :10,求最大角.点拨(1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A,再求其余的量.(2)先由sin A : sin B : sin C= a : b : c,求出a : b : c,再由余弦定理求出最大角.解(1)由正弦定理及已知条件有_ .2sin A sin 45得 sin 人_爭,T ab, / AB _ 45 / A_ 60或 120当 A_ 60寸，C_
2、 180 45 60 _ 75 c_ 竺聲” A CZ oC,sin B sin 452当 A_ 120时 C_ 180。 45。 120。_ 15 c_空皿_屆迅_sin B sin 452根据正弦定理可知a : b : c_ sin A : sin B : sin C_ ( . 3+ 1) : ( . 3 1) : . 10,边c最大，即角C最大.设 a_ (1:3+ 1)k, b_ ( 3 1)k, c_10k,则cos C_诗_曲為+儒!严2回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解
3、的情况, 作出正确取舍.?变式训练 1 (1) ABC 中，AB_ 1 , AC_ ,3，/ C_ 30 求厶 ABC 的面积； 已知a、b、c是厶ABC中/ A、/ B、/ C的对边，S是厶ABC的面积.若 a_ 4, S_5.3,求c的长度.(1) 1_ 专, sin B_F, B_ 60。或 120sin 30 sin B2B_ 60 时，A_ 90 , - BC_ 2,此时，Saabc _ .B_ 120时，A_30 Saabc_ 1/3x 1X sin 30 _申.综上， ABC的面积为 于或；31 3(2) t S_ 2absin C, sin C_ 2，于是 C_ 60或 C_
4、120.当 C _ 60寸，c2_ a2 + b2 2abcos C _ a2+ b2 ab_ 21, c_ 21;当 C_ 120时，c2_ a2+ b2 2abcos C_ a2 + b2 + ab_ 61, c_ ,61. c 的长度为，21 或 一 61.二、正、余弦定理在三角形中的应用【例2】 在厶ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长.已知 b2_ ac且a2 c2_ ac bc.(1)求/ A的大；(2)求bsin B的值.点拨 (1)利用cos A = ba求解;2bc(2)利用正弦定理对代数式 竺严进行转化.解 / b2= ac 且 a2 c2 = ac b
5、c, / a2 -c2= b2 bc, 2,2 2.422b +c a bc 1-b + c a bc, - - cos A, A= 602bc 2,“亠宀bsin A , 2b由正弦疋理得：sin B =, - b = ac,一：aa.bsin B3 = sin A= sin 60 =c2 -1 1(2)方法一 在 ABC中,bsin A c sin A sin B=,b2bcc b.方法二 在厶ABC中，由面积公式得：bcsin A=acsin B.22_ bsin B3/ b = ac, bcsin A= bsin B = sin A= sin 60 =牛c2 回顾归纳(1)在三角形的三
6、角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础.目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系.(2)要注意利用 ABC中A+ B + C= n,以及由此推得的一些基本关系式：B+ ca如果题sin (B+ C)= sinA, cos(B+ C) = cos A, tan(B+ C) = tan A, sin = cos 等，进行三角变换的运算.B+ c7?变式训练2 在厶ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，4sin cos 2A=-.(1)求/ A的度数；若a= . 3, b + c= 3,求b、c的值.B + ca解 / B + C= 180 A,= 9
7、0 A.由 4sin cos 2A = 一，得 4cos2 cos 2A = 一，2 2 2 2即 2(1 + cos A) (2cos2 A 1)=孑整理得 4cos2A 4cos A + 1= 0. cos A =-，又 0A180。， A = 60.(2)由A= 60 根据余弦定理得- b?+ c? a?= bc, a = ,-3,2,222,22b + c a Rri b + c a cos A =，即=2bc2bc又 b+ c= 3, b+ c+ 2bc= 9,bc= 2.由b + c= 3bc = 2，解得P= 1lc= 2c= 1- b? + c? bc= 3.三、正、余弦定理在
8、实际问题中的应用【例3】A、B、C是一条直路上的三点， AB = BC= 1 km ,从这三点分别遥望一座电视发射塔P, A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60方向.求塔到直路的距 离.M、N、Q.如图所示，过 C、B、P分别作CM丄I, BN丄I, PQ丄I，垂足分别为 设 BN=x，贝V PQ=x , PA=、2 x./ AB=BC , CM=2BN=2x , PC=2x.在厶PAC中，由余弦定理得2 2 2AC =PA +PC -2PA PC cos 75,即 4=2x2+4x2 - 4 、2x2 62，解得 x2= 243)，过 P 作 PD 丄 AC ,垂足为 D ,
9、413则线段PD的长为塔到直路的距离.1 1在厶 PAC 中，由于一 AC PD= PA PC sin 75 ,2 2PA PC sin 7502、2x2 sin 75022(43) , 627 5 3AC(km).13得PD二134km.答塔到直路的距离为 75 313回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：准确地理解题意；正确地作出图形(或准确地理解图形)；把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；根据实际意义和精确度的要求给出答案.(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语.?变式训练3B如图所示，当甲船位于
10、 A处时获悉，在其正东方向相距 等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 乙船，设乙船按方位角为0的方向沿直线前往B处救援，求解 在厶 ABC 中，AB=20 , AC=10，/ BAC=120 , 由余弦定理知：BC2=AB 2+AC2-2AB AC cos 120221=20 +10 -2X 20x 10X II 2丿由正弦定理得ABBCsin ZACB20海里的B处有一艘渔船遇险 30,相距10海里C处的 B的值.sin22=700. a BC=107 .sin BAC AB20J21a sin / ACB= sin / BAC= = sin 120 =BC 27a co
11、s/ ACB=.7a sin 0 =sin( / ACB+30213 217272课堂小结：10、7)=sin / ACB cos 30 +cos / ACB5.7? 14-sin 30 1. 正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1) 已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解.(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解， 其解不确定.2. 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：（1）已知三边，求其他三角，其解是唯一的.（2）已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有
12、一解.3正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆 ）提供了理论基础，也是判断三角形形状、 证明三角形中有关等式的重要依据.课时作业一、选择题1.在 ABC 中，A= 60 a= 4寸3, b= 4寸2,贝U B 等于（）D.以上答案都不对A . 45。或 135 B . 135 C . 45 答案 C解析 sin B = b如=，且 bsin Asin B,UA ABC 是（）B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形 B= 45.2 .在 ABC 中，A .锐角三角形 答案 C解析 cos Acos Bsin
13、 Asin B? cos(A+ B)0, A+ B90 ,3. (2008福建)在厶ABC中，角A、ac,则角B的值为()nA.：6 n j、. 5 nC：或6 6 答案 D 解析/ (a2+ c2 b2)tanB =a2+ c2 b23 2acta nB= T,即 cosB tanB= sinB =2 -I 0Bb2+贰则厶ABC为钝角三角形；a2= b2+ c2 + be,则A为60a2+ b2c2，则 ABC 为锐角三角形；若 A : B : C= 1 : 2 : 3,贝U a : b : c= 1 : 2 : 3.其中正确的个数为（）A . 1B. 2C. 3D. 4答案 A解析 由a2b2+ c2知A为钝角，正确；由a2= b2+ c2+ b
