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1、第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心
2、。中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 (5-1)式中：为变形后中性层的曲率半径，为弯矩，为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 (5-2)正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比，试中M和y均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 (5-3) (5-4)为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当
3、梁的跨高比请预览后下载！时，误差。、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁 (5-5)式中，为料的许用正应力。当梁内，且材料的时，强度条件应为，、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。2)对于的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使，使和同时达到其许用应力。3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。二、梁的切应力 梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布
4、规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。、矩形截面梁 假设切应力的方向平行于剪力，其大小沿宽度b均匀分布(图b)，由图a中带阴影线部分微段的平衡条件，得 (5-6)式中，为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，为横截面上距中性轴为y请预览后下载！的横向线以下(或以上)的部分面积对中性轴z的静面矩，其值为，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化，处，(中性轴处)时，其值为 (5-7)、工字形截面梁1. 腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b)的平衡条件，得 (5-8)式中，为横截面上的剪力，d为腹板的宽度，为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，为距中性轴z为y
5、的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在腹板和翼缘交界处，在中性轴处，其值为 (5-9)式中，为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩，计算时，为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时为型钢表中的。腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%97%。 2. 翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布，由图c所示微段的平衡条件得请预览后下载！ (5-10)式中，为翼缘的厚度，和的意义和(5-8)式相同，为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，可见沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2，d
6、)。 3. 切应力流 根据剪力的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力平行，其值为 (5-11)式中，。图5-4，b所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处
7、，其方向与剪力平行，其值为 (5-12)式中，。、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力所在的横截面上，一般位于该请预览后下载！该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为 (5-13)式中，为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b为横截面在中性轴处的宽度，为横截面对中性轴电惯性矩。 梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对称轴
8、时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a)或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b)。梁产生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c)。、开口薄壁截面的弯曲中心A1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置图5-6a,
9、b中，弯心A和形心C重合；图5-6c中，弯心A位于对称轴z上；图5-6d,e中，弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。请预览后下载！例5-1 一铸铁梁如图a所示，已知材料拉伸时的强度极限为，压缩时的强度极限为。试求梁的安全因数。解：梁的弯矩图如图b所示。以横截面的下底边为参考轴，形心C的y坐标为横截面对形轴z的惯性矩为B、C截面上正应力的分布规律如图 c所示，最大拉应力发生在B的上边缘或C截面的下边缘，由于，所以最大拉应发生B截面的上边缘。由 得 式中，为拉应力达到强度极限时的安全因数。最大压应力显然发生在
10、C截面的上边缘，由 请预览后下载！得 式中，为压应力达到强度极限时的安全因数。 由于，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为st=30MPa，许用压应力sc=90MPa，试确定截面尺寸d值。解：设形心C距截面下底边的距离为于是 截面对中性轴z的惯性矩为C截面的弯矩为由 得 由 得 由于，所以取 。讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。请预览后下载！，可知，选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定即可。例5-3 一平顶凉台如图a所示，其长度，
11、顶面荷载集度，由间距的木次梁AB支持。木梁的许用弯曲正应力，木次梁为bh的矩形截面，且。试求：(1)在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置x值；(2)选择木次梁的尺寸。解：1. 次梁的计算简图如图b所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为2. 求次梁用料最经济时，主梁位置x用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示，当时，次梁用料最经济。由 得 3. 选择b和h当时由 请预览后下载！得 讨论：上面分析次梁用料最经济时，利用了，为梁的最大弯矩的近似值，得到主梁位置也是近似的，实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处，若用实际的最大弯矩等于，得到的主梁位置，可
12、见二者误差甚小，但用第二种方法计算时，计算工作量较大。例5-4 起重机大梁由两根25a工字组成如图a所示，起重机自重，起重机起吊的重量为。梁材料的许用应力，单根25a号工字钢的，设全部荷载平均分配在两根梁。试校核梁的正应和切应力强度。解：1. 求起重机的支反力 起重机的受力图如图b所示 由 得 由 得 2. 校核梁的正应力梁的受力图如图c所示，由于荷载是移动的，必须确定最不利位置，梁在集中力和作用下，其最大弯矩必在C或D截面处，设C轮距支座A的距离为x，梁的支反力为 (kN) ， (kN) (1)C截面的弯矩为请预览后下载！由 ，得 即 (2) D截面的弯矩为由 ，得 即 (3)由于，所以最不利位置为，梁的弯矩图如图d所示。稍大于，但其误差5%，所以梁满足正应力强度条件。3. 校核切应力 当两个集中力移动至使紧靠B支座时，为剪力的最不利位置，即时由(1)和(2)式，得，梁的剪力图如图e所示。梁满足切应力强度条件。讨论：梁在两个移动的集中力作用下，最大弯矩部是发生集中力作用点处，最大剪力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。
