《无穷小的发展及其认识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷小的发展及其认识（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要微积分是高等数学的基本组成部分，它不仅在高等数学中占有重要地 位，而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。而无穷小是 微积分理论的最基本概念之一，在微积分理论体系中，无穷小是一个必须 要弄清楚的概念。然而，人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。 直到十八世纪，仍然没有较完善的解释无穷小概念。无穷小是什么？无穷 小究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至 哲学界的争论长达一个半世纪。无穷小问题至关重要，若其不能解决，极 限概念就无法建立，微积分理论就不会完善。到十九世纪二十年代，无穷 小概念才有了比较合理的解释。为了更好地学习微积分理论，掌握现代化 科学文
2、化知识，正确认识无穷小量的历史发展根源及其内涵也是非常重要 的。本文主要通过无穷小的历史认识无穷小的地位和价值。关键词：无穷小量，微积分，发展，认识Development and understanding of infinitesimalAbstract：Calculus is the basic part of higher mathematics, it not only occupies an important position in higher mathematics, and it is also an effective tool to modernization and h
3、igh-tech development essential. But the infinitely small is one of the most basic concepts of calculus, calculus theory, infinitely small is a must to clarify the concept of. However, peoples awareness of the infinitesimal has experienced a long process. Until eighteenth Century, there is no perfect
4、 interpretation of the concept of infinitesimal. Infinitesimal is what? Infinitesimal what can not be zero? How can we describe it exactly? These problems caused by the mathematics community and philosophical debate for 1.5 century. Essential infinitely small problem, if not solved, the concept of l
5、imit cannot be established, calculus theory is not perfect. In nineteenth Century twenty time, the idea of infinitesimal is relatively rational explanation. In order to better learning calculus theory, master the modern scientific and cultural knowledge, causes the historical development and connota
6、tion of the correct understanding of infinitesimal is also very important. In this paper,the historical understanding through infinitesimal infinitesimal status and value.Keywords: infinitesimal calculus, development, understanding目录一、引言 1二、无穷小的发展及历史过程 1（一）无穷小概念的产生 1（二）牛顿和莱布尼茨对无穷小量的认识 21.牛顿与无穷小量 22.
7、莱布尼茨与无穷小量 3（三）莱布尼茨和牛顿对无穷小的异同 6（四）无穷小量在第二次数学危机中的原因 6（五）无穷小的最后完善 8三、无穷小在数学中的应用 9（一）定义中的无穷小 9（二）无穷小量性质 9（三）在近似计算中的无穷小 10（四）函数极限中的无穷小 13（五）无穷小的比较在判别正项级数的敛散性中的应用 14（六）无穷小量在1 型极限中的应用错误!未定义书签。（七）无穷小在证明问题中的应用 16四、结束语 17参考文献 18一、引言“无穷小”的出现是初等数学向高等数学转变的一件具有划时代意义 的大事，从此出现了一个新的数学分支微积分。它是微积分学的基础 理论，并且在数学的许多领域中也起
8、着重要的作用。可是，这一概念的出 现并不是在微积分创立时就已成为微积分学的基础。它的建立经历了一个 漫长而艰苦的过程。本文研究“无穷小量”的建立和发展的历史，认识其 对数学发展的意义和作用即在数学中的应用。根据有关史料，试就“无穷 小”的建立及其对数学发展的意义和作用，提出一些粗浅的见解。二、无穷小的发展及历史过程（一）无穷小概念的产生无穷小概念的产生无穷小是一个历史概念，它的历史可以追溯到文艺 复兴时期的不可分量，不可分量概念的产生可以从古希腊的原子论和阿基 米德解决一些问题的方法中得到某种根源性的解释。而在公元前450年， 希腊人芝诺用“两分法”分析物体的运动时，得出运动是不可能的悖论。
9、他说：“若物体由A点运动到B点，首先必须经过AB的中点C；然而，要 经过C点，又必须经过AC的中点D,即AB的1/4分点。”这些分 点如此无限次地找下去所得结论是:运动是不可能的。1这 说明当时的希腊 人虽然已经具备了用无穷小思想认识问题的能力，但由于他们还不能解决 无穷小与很小很小之间的矛盾，所以当时的希腊几何证明中很少使用无穷 小思想。不管是在古希腊还是在中国，无穷小思想最初都是在哲学范围内提出 的。在2000多年前的中国，人们就已产生对数学无穷小的萌芽认识。庄 子天下篇中有言“至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一”，大 到没有外面，自然是无穷大，小到没有里面，当是无穷小。又言“一尺之
10、锤，日取其半，万世不竭” ，描述了无穷小的变化过程。魏晋时期数学家刘徽在九章算术“刘徽的割圆术”中提出“割之 弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周全体而无所失矣” 的思想，第一次创造性地将无穷小思想运用到数学中，他用增加圆内接正 多边形的边数来逼近圆。此时，正多边形的周长与圆的周长之差是无穷小17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门 逼近。意大利数学家卡瓦利列在其不可分量几何中，将面和立体看、 成不可分量“流动”所生成。他认为，不可分量就是无穷小。在开普勒以 后，不可分量逐渐被叫做无穷小量。随着社会不断进步，面临解决诸如瞬 时速度，曲线的切线及不规则图形的面积
11、计算等问题，都与无穷小相关， 于是无穷小量方法就成为力学和几何学的一个重要工具。在17世纪晚期，开始产生并形成了无穷小的演算。英国物理学家牛顿 在研究物理学时，用变量 X 和 Y 的无穷小改变量作为求导数的手段。当他 在求瞬时速度时，用位移的改变量AS与时间的改变量AT的比AS/AT, 当时间变化量AT变成零时的值表示1。改变量AT是否为零？能不能取为 零值？在当时引起了很大的争论。同时，德国数学家莱布尼兹也在几何学 研究方面用变量X和Y的无穷小的微分增量dy和dx来研究面积和体积的 计算。这时无穷小才开始被广泛地讨论和研究。(二) 牛顿和莱布尼茨对无穷小量的认识1. 牛顿与无穷小量什么是无穷
12、小？牛顿在他的早期和晚期著作里有不同的解释。牛顿微 积分的基本特点是基于直观(面积、流量)的有效、普遍算法。牛顿在处理 微积分问题时，一方面追求解题方法的普遍性；另一方面这种普遍的解题 方法又是建立在有关物理学意义的“量”的基础上的。他和前人一样，尽 可能地利用变量的直观意义，而与欧拉的思想把微积分演算看成是一种完 全形式的推演不同的是他把各种具体的问题概括为一般的普遍算法。在早期第一阶段，他基本上是实无穷小(常常以“瞬”的形式表现出来， 瞬是无穷小的量 ，不可分的量，也叫做微元)观点。他认为无穷小就像构 成物质的元素一样，也是最小的、不可分的。求面积是利用无穷小面积的 和得到的，求体积、位移
13、也都利用的是它们各自的微元求和得到的。例如：1669年牛顿在第一篇流数法的论文运用无限多项方程的分析 中，为解决已知曲边梯形的面积公式是3nm+nZ 二 a()x nm + n要求它的曲线公式的问题，他用字母。表示横坐标x的无穷小增量，称 之为x的瞬，于是新的横坐标就是x+0，全部面积是nm + nZ +0y = a()(x + 0) nm+n按二项式定理展开之后，减去nm+nZ 二 a()(x + o ) nm+n并且在等式两边除以o，最后舍掉含有o的各项，结果就得到曲线公式my = axn在整个运算过程中，牛顿用的o,先把它表示成HO的无穷小增量，然 后又使它=0舍掉。他把瞬或无穷小o看成
14、是实无穷小量，就是说他只是从 变量变化的间断性，变量变化的结果这个角度，而不是从连续和间断、过 程和结果辩证的统一的角度来考察无穷小的。这个观点是从费尔马与巴罗 等那里得来的，并且进行了初步理论上的概括。牛顿使用符号o与格雷戈 里等使用符号o是一致的。同时牛顿还承认在他的方法中关于丢弃含o各项 的说明和费尔马、巴罗关于丢弃 E 和 e 的说明同样是不清楚的。正如牛顿 所讲的那样,他的方法只是“简略的说明,而不是正确的论证。”4而在他写于 1671 年直到 1736 年才发表的流数法和无穷级数中， 他认为变量是由“点、线和面的连续运动产生的”。所以他把变量叫做“流 量”，并把变化率叫做“流数”。
15、把流量的变化总是和时间的流逝联系起 来，就是说流量总是随着时间的变化而变化的。当他将这种基本概念(瞬或无穷小o)运用到流数法的基本方法中时， 必然会产生逻辑矛盾。实无穷小量一方面是常量，另一方面既可以是非 0， 又可以是0，这怎么可能呢?为了摆脱这种逻辑上的矛盾，合理地解释流数 法，牛顿从1671年流数法开始，从实无穷小量的观点转变为潜无穷小 的观点。这一著作的发表标志着牛顿的基本观点已经开始进入第二个阶段。在这本著作中，牛顿已经开始从第一阶段的早期观点开始向晚期的观 点过渡，这表现在他对瞬这个重要概念的解释上，主要的变化在于早期他 是从静力学的观点、不可分量的形式来解释的，而现在是从动力学的
16、观点、 连续量的形式来解释的了。但是在计算方法上则仍然按照实无穷小方法来 计算。而后一种观点最后发展成为所谓最初比和最终比方法，这个方法实 质上可以认为是后来哥西提出的极限理论的雏形。事实上牛顿在他的 1669 年的分析学中的思想更接近于卡瓦列里的 不可分量或者静力学式的不可分法，而在较晚的 1671 年(1736 年出版)流 数法和无穷级数中则更倾向于伽力略的动力学思想，因而更多地使他的 流数法依附于他的时空连续统的直观解释。牛顿在 1676 年写的论文曲线与求积，标志着他的观点进人了第三 个阶段，即后期阶段。在这篇文章里，牛顿正式宣布他放弃早期对无穷小 的观点，不再把数量看成是由不可分割的最小单元构成的，而是把
