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1、最新人教版数学精品教学资料2.1.2 指数函数及其性质课堂导学三点剖析一、指数函数的概念图象及性质【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.(1)y=56x+1; (2)y=()3x;(3)y=; (4)y=-x;(5)y=(2a-1)x(a,且a1); (6)y=.思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.解:(1)y=56x+1=5(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则tR,y=5t(0,+). (2)y=()3x=()3x=()x是指数函数,定义域为R,值域为(0
2、,+). (3)y=不是指数函数,要使解析式有意义,必须x0,定义域为x|x0. 设t=,则t(-,0)(0,+),y=0.7t(0,1)(1,+). (4)y=-x=()x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+). (5)y=(2a-1)x(a且a1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+). (6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x0, 即1-()x0,也就是()x1=()0,得x0,定义域为x|x0. 令t=1-()x,当x0时,0()x1,01-()x-, 因此,1,因此0.30=1,00.921,则0.923.50.923.5.温馨提示 因为a0=b0=1,当a、b
3、比较大小时(a、b0,且a、b1),往往插入中间值1,使a、b能够通过与1的比较进而区别大小.二、指数函数性质的应用【例3】 根据所给条件,确定x的取值范围.(1)()-3x+5(2a-1)2x-1(a且a1).思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.解:(1)()-3x+52(2-1)-3x+5223x-52. 由单调性可知3x-51, 即x2. (2)当02a-11, 即a(2a-1)2x-1x-5-4; 当2a-11, 即a1. (2a-1)x-5(2a-1)2x-1x-52x-1,得x-4.温馨提示 求解指数中含有未知数的不等式时,必须注意底数是大于1还是大于零且小于1,然后再利用相应
4、指数函数单调性进行解答,可归纳为:当a1时,f(x)g(x);当0a0解析:由于a(1,+), y=ax为增函数.aa, .故选B.答案:B类题演练3设23-2x,则x的取值范围是_.解析:原不等式(0.5)2x-32x-33x2-4-x1.答案:(-,1)变式提升3已知函数f(x)=x,x1x20,试比较与f()的大小.解析:f(x)=x, f(x1)=x1,f(x2)=x2, =,f()=. 又x1x20,x1与x2同号. 当x10,x20时,-=(-)20,又1, , 即有f(). 当x10,x20时,-=-x1+2-x2 =-(+)20, , 即有f().类题演练4判断y=(a0,且a
5、1)在,+上的单调性.答案:用函数单调性定义可证得:当a1时,原函数在,+上单调递减; 当0a1时,原函数在,+)上单调递增.变式提升4求函数y=(a0,a1)的单调区间.解析:设=-x2+3x+2=-(x-)2+,y=a. 当x(-,),时,(x)是增函数; 当x,+时,(x)是减函数; 故当a1时,y()是增函数,那么在区间(-,)上,函数y=递增; 当0a1时,y()是减函数, 当0a1时,函数y=在区间,+上递增. 当a1时,增区间为(-,); 当0a1时,增区间为,+. 同理可知:当a1时,y=的减区间为,+; 当0a1时,y=的减区间为(-,.温馨提示 本题利用复合函数的单调性.即对于y=fg(x),如果y=f()与=g(x)的增减性相同,则为增函数,若y=f()与=g(x)的增减性相反,则为减函数,即“同增”“异减”.