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1、第七节空间向量在立体几何中的应用考纲传真1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量(与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)(2)平面的法向量如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量(所有与直线l平行的非零向量
2、都是平面的法向量) 2夹角的计算(1)直线间的夹角设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角s1与s2的夹角s1，s2范围(0，)求法cos |coss1，s2|coss1，s2关系当0s1，s2时，s1，s2；当s1，s2时，s1，s2(2)平面间的夹角已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2(3)直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为，则sin |coss，n|.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)
3、两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3B4C5D6C，则uv262(4)4t0，t5.3(20xx全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B C.DC建立如图所示的空间直角坐标
4、系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .4如图771所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_图771垂直以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直5(20xx唐山模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.
5、【导学号：57962357】45如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.(0,1,0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.利用向量证明平行与垂直问题如图772所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.图772(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB，AD，AP所在直
6、线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0).3分(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.6分(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.9分又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.12分规律方法1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直
7、关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键2运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，必需强调直线在平面外变式训练1(20xx北京房山一模)如图773，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点图773求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0
8、,1,1)，H(1,0,0).3分(1)(2,0，2)，(1,0，1)，2，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.6分(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，9分0120(2)00，PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.12分线面角与异面直线所求的角角度1求异面直线所成的角将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为() 【导学号：57962358】A.B.C.DC不妨以ABC为底面，则由题意当以A，B，C，D为顶点的三棱锥体积最大，即点D到底面ABC的距离最大
9、时，平面ADC平面ABC.设点O是AC的中点，连接BO，DO.则易知BO，CO，DO两两互相垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令BOCODO1.则O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，于是(0,1,1)，(1,1,0)，因此cos，.所以异面直线AD与BC所成的角为.规律方法1.利用向量法求异面直线所成的角(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量1，2；(3)代入公式|cos1，2|求解2两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异
10、面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角角度2求直线与平面所成的角(20xx全国卷)如图774所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 图774(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.5分(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18，因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建
11、立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8).8分设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.12分规律方法1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影，直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角2(1)求直线与平面所成的角，不要误认为是直线
12、的方向向量与平面法向量的夹角(2)若求线面角的余弦值，要利用平方关系sin2cos21求值.利用空间向量求二面角(20xx全国卷)如图775，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.图775(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解 (1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.2分又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.4分(2)过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直
13、角坐标系Gxyz.6分由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.8分又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，).10分设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.12分规律方法1.求解本题要抓住几点：(1)充分利用垂线，建立恰当的直角坐标系；(2)确定二面角DAFE与二面角CBEF的平面角；(3)从空间图形能判定二面角EBCA为钝角2利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的
