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1、 .wd.第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作或 模向量的模记作和差 单位向量，则方向余弦设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为点乘数量积， 为向量a与b的夹角叉乘向量积 为向量a与b的夹角向量与，都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影 平面直线法向量 点方向向量 点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离 面面夹角线线夹角线面夹角 第九章 多元函数微分法及其应用多元函数的概念定义域
2、多元函数求定义域方法同一元函数求定义域，注意定义域要写成集合形式极限 表示点以任何方式趋于点，要说明二元函数极限不存在，只需找两条不同路径逼近，得到逼近不同数值即可，例如在点连续极限存在的前提下，要求函数在某点连续极限一定存在，极限存在不一定连续偏导数定义=计算相当于一元函数求导数，对某一自变量求偏导，把其余变量均视为常数即可高阶偏导同一元函数求高阶导数全微分多元函数可微一定可导偏导存在可导不一定可微多元复合函数求导全导数=+ =+=+ =+隐函数求导由确定隐函数由确定隐函数= =方程组确定隐函数方程组两端同时对求导得 可解出, ，同理可解出, 空间曲线：切向量切“线方程：法平“面方程：切向量
3、切“线方程：法平“面方程：空间曲面：法向量切平“面方程：法“线“方程：或切平“面方程：法“线“方程：方向导数与梯度方向导数， 则其中，= ，则其中梯度(函数在梯度方向增加最快，梯度反方向减少最快) = =多元函数极值无条件极值求的极值：（1） 求，并令，解出驻点（2） 求二阶偏导3定出每一个驻点的的符号，由极值存在的充分条件判断该点是否为极值点，是的话是极大还是极小值点，再代入函数表达式即得极值条件极值Lagrange乘数法求在附加条件下的极值：（1） 构造Lagrange函数（2） 解方程组即得可能的极值点，实际问题的解存在唯一第十章重积分积分类型计算方法二重积分平面薄片的质量质量=面密度面
4、积（1） 利用直角坐标系X型 Y型 2利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) 3利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，关于x轴对称时，有类似结论计算步骤及本卷须知1 画出积分区域2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易别离3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积(1) 利用直角坐标投影（
5、2） 利用柱面坐标 相当于在投影法的根基上直角坐标转换成极坐标 适用范围:积分区域外表用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易别离.如3利用球面坐标 适用范围:积分域外表用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时变量易别离. 如，4利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分积分类型计算方法第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法转化为定积分1 2 3平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1） 参数法转化为定积分2利用格林公式转化为二重积分条件：L封闭，分段光滑，有向左手法则围成平面区域D P，Q具有一阶连续偏导数
6、结论：应用：3利用路径无关定理特殊路径法等价条件： 与路径无关，与起点、终点有关具有原函数特殊路径法，偏积分法，凑微分法 4两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功1参数法转化为定积分2利用斯托克斯公式转化第二类曲面积分条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法： 投影到面类似的还有投影到面和面的公式第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量1投影法：，为的法向量与轴的夹角前侧取“+，；后侧取“，：，为的法向量与轴的夹角右侧取“+，；左侧取“，：，为的法向量与轴的夹角上侧取“+， ；下侧取“，2高斯公式 右手
7、法则取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用：3两类曲面积分之间的联系转换投影法：所有类型的积分：定义：四步法分割、代替、求和、取极限；性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章 级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，存在常数项级数的 根本性质常数项级数的 根本性质 假设级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 假设级数收敛, 则对这级数的项任意
8、加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.必要条件 如果级数收敛, 则莱布尼茨判别法假设且，则收敛则级数收敛.和都是正项级数，且.假设收敛，则也收敛；假设发散，则也发散.比拟判别法比拟判别法的极限形式和都是正项级数，且，则假设,与同敛或同散;假设,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。比值判别法根值判别法是正项级数，,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数,缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 收敛定理 是连续点,收敛于;是连续点,收敛于周期延拓为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.交织级数欢送您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！你的意见是我进步的动力，希望您提出您珍贵的意见！让我们共同学习共同进步！学无止境.更上一层楼。
