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1、项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验1 一元函数积分学(基础实验) 实验目的 掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力. 基本命令1.计算不定积分与定积分的命令Integrate求不定积分时, 其基本格式为Integratefx,x如输入 Integratex2+a,x则输出 其中a是常数. 注意积分常数C被省略.求定积分时, 其基本格式为Integratefx,x,a,b其中a是积分下限, b是积分上限. 如输入 Integrat
2、eSinx,x,0,Pi/2则输出 1注:Mathematica有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate可用积分号代替, 命令Sum可以用连加号代替, 命令Product可用连乘号代替. 因此只要调出这些运算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File菜单,点击Palettes中的BasicCalculations, 再点击Calculus就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计算.2.数值积分命令NIntegrate用于求定积分的近似
3、值. 其基本格式为NIntegratefx,x,a,b如输入 NIntegrateSinx2,x,0,1则输出 0.3102683.循环语句For循环语句的基本形式是For循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.例如, 输入t=0;Forj=1,jNone, n, s1, s2则输出n s1 s22 0.125 0.6254 0.218750.468758 0.2734380.39843816 0.3027340.365
4、23432 0.3178710.34912164 0.3255620.341187128 0.3294370.33725256 0.3313830.335289512 0.3323570.3343111024 0.3328450.333822这是的一系列近似值. 且有例1.2 计算的近似值.输入Clearg;gx_=Sinx/x;js2=Tablen,s2g,0,1,n,n,3,50则得到定积分的一系列近似值:3,0.91687,4,0.924697,5,0.929226,48,0.944421,49,0.944455,50,0.944488注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n收敛
5、很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节). 如果用Nintegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例1.3 用定义求定积分的动画演示.输入Clearf,x,a,b;fx_=x2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity;Forj=3,j=50,j+=2,m=j;tt1= ;tt2= ;Fori=0,i$DisplayFunction,PlotLabel-m intervals 执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅), 如果观
6、察动画, 只要选中24幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画. 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义.不定积分计算例1.4 (教材 例1.2) 求输入Integratex2*(1-x3)5,x则输出例1.5 求输入IntegrateExp-2 x*Sin3 x,x则输出例1.6 (教材 例1.3) 求输入Integratex2*ArcTanx,x则输出例1.7 求输入IntegrateSinx/x,x则输出SinIntegratex它已不是初等函数.定积分计算例1.8 求输入Integratex-x2,x,0,1则输出例1
7、.9 (教材 例1.4) 求输入IntegrateAbsx-2,x,0,4则输出4例1.10 (教材 例1.5) 求输入IntegrateSqrt4-x2,x,1,2则输出例1.11 (教材 例1.6) 求输入IntegrateExp-x2,x,0,1则输出其中Erf是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrateExp-x2,x,0,1则有结果0.746824.变上限积分例1.12 (教材 例1.7) 求输入DIntegratewx,x,0,Cosx2,x则输出-2 Cosx SinxwCosx2注意这里使用了复合函数求导公式.例1.13 (教材 例1.8) 画出变
8、上限函数及其导函数的图形.输入命令f1x_:=Integratet*Sint2,t,0,x;f2x_:=EvaluateDf1x,x;g1=Plotf1x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0;g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showg1,g2;则输出图1.1.图1.1求平面图形的面积例1.14 (教材 例1.9) 设和计算区间上两曲线所围成的平面的面积.输入命令Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,
9、0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindRootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742则输出两函数的图形（图1.2）及所求面积图1.2求平面曲线的弧长例1.15 (教材 例1.10) 计算与两点间曲线的弧长.输入命令Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx;Plotfx,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0;NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi则输出曲线的图形（图1.3）及所求曲线的弧长12.0564.图1.3注: 曲线在区间上的弧长.求旋转体的体积例
10、1.16 (教材 例1.11) 求曲线与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋转体体积. 输入Clearg;gx_=x*Sinx2;Plotgx,x,0,Pi则输出图1.4.图1.4观察的图形. 再输入IntegratePi*gx2,x,0,Pi得到输出 又输入 Integrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi得到输出 若输入 NIntegrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi则得到体积的近似值为27.5349.注: 图1-4绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积此外,我们还可用ParametricPlot3D命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的图形.输入Clearx,y,z,r,t;xr_,t_=r;yr_,t_=gr*Cost;zr_,t_=gr*Sint;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕x轴旋转所得旋转体的图形（图1.5）.图1.5又输入Clearx,y,z;xr_,t_=r*Cost;yr_,t_=r*Sint;zr_,t_=gr;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕y轴旋转所得旋转体的图形（图1.6）.图1.6实验习题1. 求下列不定积分:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ;
