小学奥数排列组合教案

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1、小学奥数-排列组合教案加法原理和乘法原理排列与组合： 熟悉排列与组合问题。 运用加法原理和乘法原理解决问题。在 日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题 ：问题一：从A地到B地, 可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4班，汽车有3班, 轮船有2班。那么从A地到B地共有多少种不同的走法 问题二：从甲村到 乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村， 共有多少种不同的走法解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有 mi种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，在第N类方法中有mn种不同的方法，那

2、么完成这件工作共有 N = mi + m2 + m3 + 一+mn种不同方法。运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）;完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。合理分类也是运用加 法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解 题经验。乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有mi种方法，完成第二个步骤有m2种方法，,完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有miXm2X-mn种方法。运用乘法原理计数，关键在于合理 分步。完成这件工作的N

3、个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作， 必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同， 则对 应的完成此工作的方法也不同 这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下搭配的规律）， 教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题， 在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理， 可以巧妙解决很多复杂的计数问 题。

4、小学阶段只学习两个原理的简单应用。【例题一】每天从武汉到北京去，有 4班火车，2班飞机，1班汽车。请问： 每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车 ，二类乘坐飞机，三 类乘坐洗车.解：4+2+1=7（种）【例题二】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成 1 元钱，有多少种方法【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。取两种人民币组成1兀，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8 张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角

5、和2张1角。取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1 张5角、2张2角和1张1角的。解:所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。【例题三】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个【解析】运用加法原理，把组成的三位数分为九类：十位是 9的有9个，十位是8的有8个，十位是1的有1个.解：共有：1+2+3+ +9=45（个）【例题四】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是 9, 24可分拆为：24=9+9+6 ;24=9+8+7 ; 24=8+8+8 。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：由9、9、8三个数

6、字可组成 3个三位数：998、989、899;由9、8、7三个数字可组成 6个三位数：987、978、897、879、798、789;由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。解:所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。【例题五】有一批长度分别为1,2, 3, 4, 5, 6, 7和8厘米的细木条若干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角

7、形分为两大类：第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为 1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为 8小类，三边长依次是：腰长为1的三角形1个：1、1、1。腰长为2的三角形3个：2、2、1; 2、2、2; 2、2、3。腰长为 3 的三角形 5 个：3、3、1; 3、3、2; 3、3、3; 3、3、4; 3、3、5。腰长为4的三角形7个：4、4、1; 4、4、2; 4、4、7。腰长为5的三角形8个：5、5、1; 5、5、2; 5、5、8。同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。第一大类可围成的不同

8、的三角形：1+3+5+7+8 X4=48 （个）。第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能 为是3厘米、2厘米、1厘米）：最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6; 8、7、5; 8、7、 4; 8、7、3; 8、7、2; 8、6、5; 8、6、4; 8、6、3; 8、5、4。最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5; 7、6、4; 7、6、3; 7、6、2; 7、5、4; 7、5、3。最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4; 6、5、3; 6、5、2; 6、 4

9、、 3。最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3; 5、4、2。最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70 （个）【例题六】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了, 最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙【解析】要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这 把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；第9把锁最多试1 次，最好一把锁不用试。

10、解：最多试验次数为：9+8+7 +2+1=45（次）。【例题七】如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到内地有三条路，从内地到丁地有 四条路，从甲地到内地有二条路。问：甲地到丁地共有多少种走法甲00乙 丙*4【解析】从甲地到乙地的走法分两大类： 一大类从甲地直接到达乙地，二大类是 经过乙地和内地到达丁地，用加法原理。第二大类中，从甲地到丁地走法分三步， 第一步，从甲地到乙地，第二步，从乙地到内地，第三步，从内地到丁地，用乘 法原理。、第一大类从甲地到丁地有2条路，用加法原理有2种走法。、第二大类从甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，从甲地到乙地，有3条路，用加法原理有3种走法。第二步，从乙地

11、到内地，有 3条路，用加法原理有3种走法。第三步，从内地到丁地，有 4条路，用加法原理有4 种走法。根据乘法原理，第二大类共有 3X3X4 = 36种走法。、用加法原理，从甲地到乙地共有 2 + 36=38种走法解：2+3X3X4 = 38 （种）【例题七】某人到食堂去买饭菜，食堂里有 4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要 各买一样，共有多少种不同的买法【解析】运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：第一步：选汤有2种方法。第二步：选荤菜有4种方法。每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有 2个4种，即8种 不同的搭配方法。第三步：选蔬菜有3种方法。荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法

12、，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。如下图所示解：共有不同的买法：2X 4X 3=24 （种）。【例题八】数学活动课上，张老师要求同学们用 0、1、2、3这四个数字组成三位数，请问： （1）可以组成多少个没有重复数字的三位数（2）可以组成多少个不相等的三位数【解析】组成没有重复数字的三位数要求千位、十位、个位上的数字不同，数位 之间是互相联系的，用乘法原理。完成没有重复数字的三位数的组成，分三步。第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字千位放了一个，还剩三个，有3 种放法。第三

13、步，看个位有多少种放法，四个数字千位、十位各放了一个，还剩二个，有2 种放法。解： （1 ）3X 3X 2=18 （个）不相等的三位数，可以看出各数位上的数字是能重复的。要完成数的组合应该分三步： 第一步， 看千位有多少种放法，0 不能放首位，1 、 2、 3 任一个都可以放，有 3 种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字都可以放，有4 种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字都可以放，有4 种放法，有4 种放法。解：（2） 3X4X4=48 （个）【例题九】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法（ 1）七个人排成一排；（ 2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（

14、 3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（ 4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（ 5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（ 6）七个人站成两排，前排三人，后排四人.（ 7）七个人站成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】 （ 1 ） 七个人排成一排要有序的分步进行，第一步，七个人每人都可以站第一位， 7 选 7 叫全选，有7 种选法，也就是完成七个人排成一排的第一步。第二步，七人已选出一人站到第一位，还剩六人，有6 种选法。同理，第三步有5种选法。第四步有4 种选法。第五步有3 种选法。第六步有2 种选法。第七步有 1 种选法。解：根据乘法原

15、理得：7 X6 X5 X4 X3 X2 X1 = 5040 （种）注：用排列公式写作：P 5040 （种）。（2）确定小新站中间，只要考虑六人站一排的排列问题。只需排其余 6个人站 剩下的6个位置。分六步，第一步6种选法、第二步5种选法、第三步4种选 法、第四步3种选法、第五步2种选法、第六步1种选法。解：根据乘法原理得：6X5X4 X3 X2 X1 = 720 （种）注：用排列公式写作：P6 720 （种）.（3）先确定中间的位置站谁，有 2种选法。再排剩下的6个位置。解：根据乘法原理得：（6X5X4X3X2X1） X2 = 1440 （种）注：用排列公式写作：2 XP65 =1440（种）.（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.如图可知，小新和阿呆站两边位置是 2选2,有2X1=2种选法。其余五个位置 站法：第一位5种选法、第二位4种选法、第三位3种选法、第四位2种选法、 第五位1种选法。其余5人所站位置I F I| I2543211I II I 1小新和阿呆所站位置解：根据乘法原理得