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1、 M矩阵的性质、定理及证明一、M矩阵的概念定义1 设，且，称A为M矩阵。定义2 设，且，若为M矩阵，则称A为逆M矩阵。引理1 如果，且，A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解，,其中L为下三角阵，R为上三角阵，L和R的主对角元都是正值。二、M矩阵的判定定理与证明定理1 若为M矩阵，则，其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。证明 若A为M阵，则当，；，。由引理1，A可做三角分解。设 ， 则，故。因，故；因故；因，故，从而；因，故。类似的有，（）。又因有及故相应有，。类似的有，（）。假设时有，（），当时，由于，故。又由于，故；类似的可得到，（）。证毕。定理2 设，的代数余
2、子式为，如果则为M矩阵的充要条件。证明 必要性：如果为M矩阵，由于，故 。充分性：由于，且，就由定义1知为M矩阵，证毕。定义3 设有n阶矩阵，如果存在正向量X（即它的分量都是正值），使得成立，则称A为拟对角占优。引理2 设，满足，并且矩阵为拟对角占优，则A为M矩阵。定理3 设，如果 则A为M矩阵（其中）。证明 若 对 皆成立，则由定义3 知为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵，为此，只需证明对某个有的情形。不失一般性，不妨设。由,可得用乘以矩阵B的第一列，得新矩阵，则有，再假设，用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵，则有，于是为强对角占优，故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。定理4 设，设，若对任
3、意，恒有，则A为M矩阵。证明 令：，由于，故，取做 得，则当时，有，如果，显然有 。当时有 ，于是知为强对角占优矩阵，由定义3知B为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A为M矩阵。证毕。定理5 如果存在正对角阵D，使AD为拟对角占优阵，则A为拟对角占优阵。证明 因为存在正对角阵D，使为拟对角占优，则存在正对角阵，使为强对角占优。又因仍为正对角阵，故A为拟对角占优阵。证毕。定理6 设，且对任意的有 （1）并且对全体等号成立的，存在非零元素链，使得成立，则A为M矩阵。证明 由于，故。取，做得，则当时，有如果，显然有 。当时，有 ，反之，若对使式（1）成立的，存在非零元素链，使得 成立则由前分析知为具
4、有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。故为拟对角占优矩阵，从而B为拟对角占优矩阵，由引理2知A为M矩阵。证毕。 参考文献1.M-矩阵的特性描述2-非奇异M矩阵J.应用数学与计算机数学，1981（2）：48-54.2游兆永.非奇异M矩阵J.武汉：华中工学院研究生讲义1981.3胡玉臣.非奇异M矩阵的快速判定方法及算法J.长安大学学报,2000,10（5）：30-31.4同济大学应用数学系高等数学M.北京：高等教育出版社，2002:246-250.5毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳M.武汉：华中科技大学出版社，2001.6钱吉林.高等代数题解精粹M.第二版.北京：中央民族大学出版社，2010:112-224.8华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2008:136-139.
