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1、 1 11平面、的公共点多于两个，则；、至少有三个公共点；、至少有一条公共直线；、至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是_解析 由条件知，平面与重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故错误；相交时不一定垂直，故错误答案 22若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件解析 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立答案 充分不必要3. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析 依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1
2、D1.故符合条件的有5条答案 54如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且，则下列说法正确的是_EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析 连结EH，FG，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E、F、G、H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定
3、在直线AC上答案 5设a，b，c是空间的三条直线，下面给出三个命题：若ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交其中真命题的个数是_解析 因为ab，bc，所以a与c可以相交、平行、异面，故错因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故错由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故错故真命题的个数为0.答案 06.如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，则AO与AC所成角的度数为_解析 连结AC.因为ACAC，所以AO与AC所成的角就是OAC(或其补角)因为OCOB，AB平面BBCC，所以
4、OCAB.又ABBOB，所以OC平面ABO.又OA平面ABO，所以OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，所以OAC30.即AO与AC所成角的度数为30.答案 307已知平面，P且P ，过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_解析 如图1，因为ACBDP，图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD.所以，即，所以BD.如图2，同理可证ABCD.图2所以，即，所以BD24.综上所述，BD或24.答案 或248过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱
5、AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作_条解析 如图，连结对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等联想正方体的其他对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1AA1，BCAD，所以对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，故这样的直线l可以作4条答案 49对于四面体ABCD，下列命题中：相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面其中正确的是_(填序号)解
6、析 对于，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；对于，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；对于，当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误答案 10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_解析 将展开图还原为正方体，如图所示，则ABEF，故正确；ABCM，故错误；EF与MN显然异面，故正确；MN与CD异面，故错误答案 11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点
7、(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解 (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连结EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.12如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2
8、，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解 (1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.1设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题序号是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb；解析 当aP时，Pa，P，但a，所以错；aP时，错；如图，因为ab，Pb，所以Pa，所以由直线a与点P
9、确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，所以与重合，所以b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案 2(20xx徐州模拟)在正四棱锥VABCD中，异面直线VA与BD所成角的大小为_解析 如图，设ACBDO，连结VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案 3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_(写出所有
10、正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.解析 过A作AMPQ交DD1或A1D1于M.当0CQ时，M在DD1上，连结MQ，则截面为AMQP，故正确当CQ时，M与D1重合，截面为AD1QP，显然为等腰梯形，正确当CQ时，M在A1D1上，且D1M.过M作MRAP交C1D1于R，则MD1RPBA，从而D1R，即C1R，故正确当CQ1时，截面为AMRQP，为五边形，即错误当CQ1时，M为A1D1的中点，截面AMC1P为菱形，而AC1，PM，故面积为，正确答案 4设四面体的六条棱的长分别为1，
11、1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_解析 如图所示，AB，CDa，设点E为AB的中点，则EDAB，ECAB，则ED，同理EC.由构成三角形的条件知0aEDEC，所以0a.答案 (0，)5. 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解 (1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如
12、下：由BE綊FA，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小解 (1)因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，又因为PD平面PAD，所以CDPD.因为PD2，CD2，所以RtPCD的面积为222.(2)取PB的中点F，连结EF、AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角易得AE2，在AEF中，由EF、AF、AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
