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1、平面向量的综合应用检测题与详解答案.一一 一 -I 兀 .兀 i1.已知向重 a= cos, sin jA. 1A级一一保大分专练b= cos56, sin 56- j,贝U |a b| =()B.16C. 3解析：选 C 因为 a b= 1 cos cos, sin sin 尸(J3, 0),所以 |a b| =6666娟,故选C.2 .若向量 O1 = (1,1) , Ot =(3, 2)分别表示两个力 Fl, F2,则尸1+52|为()A.丑B , 2季C. 5D. 15解析：选 C 由于 Fi + F2 = (1,1) +( 3 , 2) = ( 2 , 1), 所以 |Fi + F2
2、| = 2 2+ 1 2= 5. ，一、 ， 、， ，、，一， _ 一,，-，_ ，一， 一3 . (2019 牡丹江第一局级中学月考 )已知圆O是ABC勺外接圆，其半径为 1,且ABI r+ AC=2AO, AB= 1,则 CA - CB = ()3A.B , 3C. 3D . 2 3- 一解析：选B因为AB+ AC=2 AO,所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又 AB= 1,圆的半径为 1,所以/ ACB= 30 ,且 AC= PA - ( PB+ PC)取得最小值，为一32.6 .已知向量a =(4,0) , b=(2,2，3),非零向量c满足(a c) (b c) = 0, |
3、c|的最大 值与最小值分别为m n,则m- n的值为()A. 1B . 3C. 2D . 4解析：选 D 设 c= (x, y),因为(a c) (b c) = 0,所以(4 -x, -y) - (2 -x, 2- y) = x2+y26x2，3y+8=0,所以(x3)2+(y，3) 2= 4,所以满足条件的向量 c的终点 落在以(3,43)为圆心，2为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为 m= 2+2/3, n = 2-2,所以 m- n= 4.7 ,已知AB/, D 为边 BC上的点，且 BD=2DC AD = x AB+y AC,贝 U xy=解析：由向量的加法法则知AD = 7
4、运+ -3D =漏+ |-BC =漏+2(冗一漏)=331 漏 + 1 血,所以 x = , y=2,所以 x- y= - 1.3333318.设 e, e2, e3为单位向重，且 e3= 201 + ke2(k0),右以向重 e1，e2为邻边的二角形1 的面积为2,则k =11斛析：设e e2的夹角为9 ,则由以向星e e2为邻边的一角形的面积为 -,得1x1xsin 9 =2，得 sin 9=1,所以 9 = 90 ,所以 e1 , e2=0)从而对 e3=/e1+ke2两边同时平方得1=4+k2,解得k=3或事舍去)，所以k = gL9 .如图，在4ABC中，O为BC的中点，若AB= 1
5、, AC= 3, AB与AC的夹角为60 ,则| OA| =解析：AB - AC = | AB| - | AC|cos 60 =1X32=2,又 AO= ( AB+ AC),所以馅2 = 4(AB +冗)2= 4( 7 = cos=-, 3 2.(-1 sin x-广2，(兀)兀 f 兀 兀0，万X-小卜了,彳卜W，.箸,12. (2019 河南中原名校质检)在ABC43, 扁，血，M是BC的中点. ，一 , 一, 一，-,一3一、(1)若| AB| =| AC| ,求向量 AB + 2 AC与向量2 AB + AC的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且| AB| =| AC| =
6、R 求OA OB+ OC OA的最 小值.解：(1)设向量 血 + 2成与向量2漏 + 7AC的夹角为0,则cos三+ 2左 | 2渥十冗 | AB+2 AC| |2 AB+ AC|令 17AB| =| 血|=a,贝U cos 0 =_2a2+ 2a2_15a 加a2 厂(2) . | AB| =| AC| =42, . | AM| =1,设| OA| =x(0x . 且 OAL OB,则(OC-B级一一创高分自选1. （2019 武汉调研）设A, B, C是半径为1的圆O上的三点, OA) ( OC- OB)的最大值是()A. 1 + #B. 1木C.姆1D . 1解析：选 a 如图，作出O
7、D，使得OA +OB =OD，则（-OC-oa）OcOB）= oc2 OA 黄-ob - OC + oA - OB = 1 （ -oA + ob）- Oc= 1-oD- -oc,由图可知，当点 c在od勺反向延长线与圆 o的交点处时，-oD 75c取得最小值，最小值为一 啦，此时（OC OA）-（-oc-Ob）取得最大值，最大值为1 +小，故选A.2 .在 ABC中，BC= 5, G, O分别为 ABC的重心和外心，且 OG BC = 5,则 ABC 的形状是（）A.锐角三角形B .钝角三角形C.直角三角形D .上述三种情况都有可能解析：选B 如图，在 ABC, G, O分别为 ABC勺重心和
8、外心，取木BC的中点 D,连接 AD, OD OG 则 ODLBC GD= 1AD 结合 OG= OD + -DG,/用。3 r-羔=2（漏+血）,宝.后=5,得（3+3G）.后=1DG .后= -6（B +友）.后=5,即1(渥 + 冗)(笈可)=5, .冗2然 2 = 30.又 BC= 5,则 | 漏 |2 =| AC |2+|-BC |2|冗 |2+|B01：结合余弦定理有cosC0,-2071, ABC 是钝角三角形.故选B.3.已知向量 a= (cos x, 1), b= isin x, j,函数 f(x) = (a + b) a-2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
9、(2)在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b,c,已知函数f(x)的图象经过点 卜，2 b, a, c成等差数列，且 入B - AC = 9,求a的值.解：(1) .1 f (x) = (a + b) a2=|a| 2+a b2= cos2x+1+ 褒sin xcos x+ ；-2=；(cos 2x+1) + 1+坐 sin 2 x-JJcos 2 x+史 sin 2 x= sin 1 2x + -22 2262兀，f(x)的取小正周期 T= -2-=无.,兀兀兀由 2卜兀2w 2x+ 2k % + ( k Z),7t7t得 k 兀 x ku + (ke Z),兀兀一，f(x)的单调递增区间为卜兀一万，kTt + (kZ).(2)由 f(A =sin得 2A+2k 兀或2A+1等+ZEkQ),兀又 0A 兀,.: A .3b, a, c 成等差数列，2a=b+c.漏 NC,1 c=bccos A= bc=9,bc= 18.由余弦定理，得cos A=b+c 2 a2 4a2a2 a212bc t = t=t=2a= 32(负值舍
