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1、专题三学号：姓名：1.用两种方法求下列函数的极值(1)y=x3-3x+1解：方法一，y,=3x2-3,令y,=0,则x=-1,x=112所以，x(-,-1)和x(1,+)时y,0，故y递增x(-1,1)时y,0，故y递减所以，当x=-1时,y有极大值为3,当x=1时,y有极小值为-1方法二、对函数二阶求导则y,=6x当x=-1时,y,=-60,故y在x=1时有极小值为-1(2)y=2x3-3x2-12x+1解：方法一、y,=6x2-6x-12,令y,=0,则x=-1,x=212所以，当x(-,-1)和x(2,)时，y,0,故y递增当x(-1,2)时，y,0,故y递减所以，当x=-1时y有极大值
2、为8；当x=2时y有极小值为-19方法二、对函数二阶求导y,=12x-6当x=-1时,y,=-180,故y在x=2时有极小值为-192.问当x,y取何值时f(x,y)=5x2+6xy+2y2-14x-8y+12取得最小值解：f,=10x+6y-14,f,=6x+4y-8,令f,=f,=0,则x=2,y=-1xyxy驻点为(2,-1)，设A=f,(2,-1)=10,B=f,(2,-1)=6,C=f,(2,-1)=4xxxyyy因为AC-B20且A0，所以函数f(x,y)在(2,-1)处取得最小值为23.有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客
3、都能听到，又已知任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到。解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法使用，因此考虑从n=3开始：当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人离开时再播。可见，第一次广播应该在第一个顾客即将离开商场之前。第一次开播时，第2,3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最好的情况，他们还未进来或者未全进来，那么第二次开播应该在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或者在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定能听到广播。所以，至少播2次就可以了。这个对任
4、意的n3也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进去的顾客为B，若按照上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必须在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未遇到。这与已知条件矛盾。所以商场至少应该广播2次，当天顾客都可以听到。4解不等式x1+x21-x2+01+x2解：原式可化为0，由于1+x20，则x1+x2+1-x21+x2只需x1+x2+1-x2，因此x1+x2+1-x2x1+x2x2-1(1)当x1时，上式两边平方，即(x1+x2)2(x2-1)2x4+x2x4-2x2+1x213平方得(x1+x2)2(x2-1)2x2，从而-x-(2)当x-1时，x1+x20
5、，从而不等式无解(3)当0x0，x2-10，从而0x1(4)当-1x0,i=1,2,.,n，求证：aa1aa2.ai12nan(a+a+.+a12nn)a1+a2+.+an证：原不等式等价lna1a1a2a2.ananln(1a+a+.+a2nn)a1+a2+.+an，即要证明：na+a+.+aalna1+alna2+.+alnan(a+a+.+a)ln1212n12nn设函数f(x)=xlnx,x0,求得f,(x)=lnx+1,f,(x)=，由于1xa0,有f(1nnif(a)+f(a)+.+f(a)a+a+.+a12n2n)，从而有alna1+alna2+.+alnana+a+.+a12n
6、12nnnlna1+a2+.+ann成立即alna1+alna2+.+alnan(a+a+.+a)ln12n12n因此，原不等式成立.a1+a2+.+ann专题四学号：姓名：、用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：（）过ABC的顶点C做一条直线，与边AB以及中线AD分别交于F及E，求证AE:ED=2AF:FB证明：（初等几何）过B做CF/BH,并延长AD交HB于点G。CHEDGAFR因为CD=DB，易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG；由平行线分线段成比例，则AE：EG=AF：FB，又，所以：AF：FB，即AE:ED=2AF:FB。证明（仿射变换）建立仿射坐标系：（,），（，
7、），C（0，c）则D（b/2,c/2），下面设CF：y=kx+c，分别求E和F的坐标。CEDAFB因为AB：y=0，从而得到F（-c/k,0），AD：cx-by=0，与CF联立，得E（bc/(c-kb),c2/(c-kb)）AF：FB=-c/k（b+c/k）=-c/(kb+c),AE:ED=bc/(c-kb):b/2-bc(c-kb)=-2c/(kb+c)）所以，AE:ED=2AF:FB（）（梅耐劳斯定理）设L，N，M分别在DABC的边AB,AC,BC(或延长线)上，求证：L，N，M三点共线的充要条件是ALBMCM=1LBMCMA证明：如图，建立仿射坐标系：以BC为x轴，以BA为y轴，B（0,
8、0），ALNMC（a，0），A（0，b），BCM(x,0),N(0,y)，则直线AC的方程为：+=1，abxy00直线ML的方程为：+=1，联立上述方程，可求得N点坐标为0000所以，=xyxy00(ax0(b-y0),by0(b-y0)bx-aybx-ay0000a-ax0(b-y0)xALb-yBMCNbx-ayy(x-a)=0,=0,=00=00LByMCx-aNAax(b-y)x(b-y)00bx-ay00ALBMCNb-yxy(x-a)0000=1LBMCNAyx-ax(b-y)0000故本题结论得证（）已知DABC中，是BC边上的中点，G是AD上的任一点，连接BG并延长交AC于E，连接并延长交，于，求证证明：如图，延长至使得，AFEGBC=,=，从而,所以FE/BCK由于，所以四边形为平行四边形，所以进一步得到，在D和D中，根据平行线分线段成比例知：AFAGAEAGAFAEFBGKECGKFBEC、利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明椭圆x2y2+a2b2=1(ab0)的面积是pab证明：设椭圆方程：+2x2y2ab2=1(ab0)，则其经过仿射变换x=x,y=y,，对应图形为圆x2+y2=a2,椭圆内的DOAB各定点的所以=，即椭圆的面积为pab
