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1、三个数、四个数的轮流相减作者：学夫子 前面我们讲辗转相除法的时候，顺便讲过辗转相除法的雏形 迭代相减法，总体来说就是大数减小数，结果与小数构 成新数组，进行相同的动作，直到只剩下一个非零数为止， 这个非零数就是这几个数的最大公约数。今天我们把这一思 想稍微变换一下：给定三个数，大数减小数，得到的三个数 组成新的数组， 再对新数组进行相同的动作， 这样轮流下去， 结果会是怎样？答案是，最后将陷入Oiaia式的循环。如下面所示的几个例子(13,9,16) -(4,7,3) -(3,4,1) -(1,3,2) -(2,1,1)(1,0,1) -(1,1,0) -(0,1,1) -(1,0,1)-(2
2、3,18,31) -(5,13,8) -(8,5,3) -(3,2,5) -(1,3,2)-后面的就和上面一样了我们可以证明，对于任意的三个数，不仅是自然数，负数， 小数什么的都可以，进行相同的动作以后，必定会陷入0-a-a 式的循环。我们假设三个数为 a,b,c ，并且设 a b c,因为只有三个数，所以这三个数不管怎么排列都 是出现相同的结果。(a,b,c) -(a -b,b-c,a-c)到这一步我们似乎就无法继续下去，但是我们可以发现，第步以后得出来的三个数有着很明显的特征：a-b+b-c=a-c ；也就是其中两个数之和等于第三个数，这其实就是“类费氏 数列”中的相邻三个数。显然地，若继
3、续下去，将会得到一 组小的费氏数组，然后进一步会得到更小的费氏数组但是我们都知道，这个小是有限度的，因为必须保证三个数大 于零，但是这个过程又可以无限继续下去，所以唯一的解释 就是这个数组必定会陷入一个循环。这个循环就是我们的 0宀aa式循环，因为除此之外不存在其他的循环。上面的解释是比较粗糙的，真正的解释比较复杂，至少我是 没有找到简单点的，希望各位有。但是类似的，对于四个数却是另外一种情况，因为假设四个 数为a,b,c,d 且abcd,进行相同的动作以后，不一定 就出现 (a-b,b-c,c-d,a-d) ，因为他们会出现其他情况，也 就是第一步以后不一定出现三个数之和等于第四个数的结 果
4、。以题目为例。(13,9,16,25) (4,7,9,12);(9,13,16,25) (4,3,9,16)所以对于四个数的情况，似乎就不能按照我们上面的方法去 探究。那么对于四个数的情况，最终是不是会陷入循环呢？ 也许答案会让你惊讶：最终会全部变成0000！(13.9.16.25) (4,7,9,12)(3,2,3,8)(1,1,5,5)(0,4,0,4) (4,4,4,4)(0,0,0,0)(9.13.16.25) (4,3,9,16)(1,6,7,12)(5,1,5,11)(4,4,6,6) -(020,2)-(2,2,2,2)-(0,0,0,0)不管一开始你取的是什么数，整数也好，负数也好，任何实 数也好，其最终都将归为四个零就好像太阳最终会用尽一 样。更有趣的是，如果我们一开始不是采取相减得方法，而 是采取相除的办法，而且在相除的时候总是用大数除以较小 数，那么最终结果会是怎样？其最后会归于 (1,1,1,1)! 比如 我们一开始取 (2,3,7,10), 经过各轮变换如下：对群论有点了解的人都知道， 0 是加法群的幺元， 1 是乘法 群的幺元，上面的变换虽然简单，确实意义深刻。 (
