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1、SARS传染病模型建立与预测张亚新 刘洪光 田香玉摘要通过对问题的分析，本文建立了SARS传播的微分方程模型，即： ，其中N(t)表示t时刻的SARS病人数， s(t)表示t时刻的传播率， r(t)表示表示t时刻的治愈率，d(t) 表示表示t时刻的死亡率。本文用s(t) 、r(t) 、d(t) 三个参数较好地描述了SARS的传播过程。通过采集6月20号以前的数据，结合各个参数代表的实际意义，对他们分别进行指数回归分析，得到了s(t) 、r(t) 、d(t)的表达式，较好地刻划了SARS的传播规律，并对疫情作出了预测。本模型的优点表现在：1、通过回归分析的方法使离散的点连续化；2、用微分方程描述
2、SARS的传播问题更加准确。本文利用Matlab软件，对复杂的微分方程进行了求解。利用附件1提供的散点数据，得到了SARS病人数目随时间变化的曲线预测图。预测了在6月12日左右疫情将得到缓解，在7月中旬将基本消除。经检验，我们的预测与实际情况是相吻合的。文中调整s(t) 、r(t) 、d(t)来对模型的结果进行控制，画出提前5天和推后5天进行隔离时病人数和时间的曲线，其结果与实际情况是相符的。本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预测，并为政府部门提供决策依据，具有一定的普遍适用性。关键词：SARS 微分方程模型 控制参数 检验预测SARS（Severe Acute Resp
3、iratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。因此建立一个适合可靠的传染病模型为SARS病毒的预防和控制提供可靠、足够的信息源意义重大。一、模型的假设1.1 模型假设:1将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。2在模型的建立中所采用的数据都是根据卫生部所公布的数据，假设这些数据真实可靠。3我们把整个人群看作由两个系统组成，传染系统和非传染
4、系统。传染系统完全由活着的SARS病人组成，且只有活着的SARS病人才具有传染能力，该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。所有的非SARS病人组成非传染系统，其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。4非传染系统的成员一旦受传染就立即进入传染系统（不考虑潜伏期），并被确诊通报。5在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。1.2 符号规定1、 N(t) ：在t 时刻，具有传染能力的SARS病人；2、 Nn：第n天, 具有传染能力的SARS病人;3、 s(t)：在t时刻的传染率，即在单位时间内平均每个病人传染的人数；4、 sn：第n天的传染率，即在这一天平均每个病人传染的人数；5
5、、 R(t) ：在t时刻，被治愈出院的病人数；6、 Rn：第n天，被治愈出院的病人数；7、 r(t)：在t时刻的治愈率，即 ；8、 D(t)：t时刻的死亡人数；9、 Dn ：第n天的死亡人数；10、d(t) :在 t时刻的死亡率，即 ；11、Q(t)：t时刻退出传染系统的人数（包括 t时刻死亡人数和治愈人数）,即： ；12、 q(t)：在 t时刻的退出率，即 ；二、模型的建立与求解在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对SARS病毒的传播速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加、死亡人数不断增多时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓
6、延.所以SARS的传播可以分为三个阶段:（1）控制前的自然传播模式阶段。（2）过渡期阶段，即公众开始意识到SARS的严重性到政府采取隔离措施前的一段时间内。（3）控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。但是, 不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因素是: 自由传染者的数量N(t), 传播的概率s(t) 及病毒本身的传播能力(用R(t) 和D(t) 来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。第 n天的病人是在第 n-1天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：移项得 (1)经过转换，得取微分得到下面连续的方程即：由此得到SARS的传播模型为：其中s(t) 、d(t) 、r(t)等
7、参数可以为我们提供所需要的信息。我们只要能够知道s(t) 、d(t) 、r(t)的表达式，便可以求解微分方程得到N(t) 。我们根据附件1中6月20号以前的数据进行拟合，得到s(t) 、d(t) 、r(t)的走势曲线，从而实现对N（t）的预测。2.1 对于s(t)-传染率我们根据附件1市疫情的数据，根据（1）式对 s 进行描点，得到一些s的散点图。随着时间的推移，隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强，s 值应该急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回归分析（利用Matlab软件） ，便可得到 s关于时间 t的连续函数s（t）,如图1所示.将附件1中的数据以excel表格的形式导入到matl
8、ab中并命名为sheet主程序为:N=sheet(:,1)-sheet(:,2)-sheet(:,3);for i=2:65D(i-1)=sheet(i,2)-sheet(i-1,2);O(i-1)=sheet(i,3)-sheet(i-1,3);end D=D;O=O;for i=1:64s(i)=(N(i+1)+D(i)+O(i)./N(i)-1;end s=s;cftool在Curve Fitting Tool窗口中选择X data、Y data，进行Exponential指数拟合绘图如下：图1 从图中可以看出，拟合出的指数函数与散点数据基本吻合。根据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也
9、可以得到和r的散点图。2.2 对于d(t) -死亡率随着医疗水平的提高以及对SARS病毒研究的深入，死亡率将逐渐减少，我们对 的散点图进行指数回归分析，即得d(t) （如图2）。图22.3 对于r(t) -治愈率在SARS疫情蔓延的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预，人们防危意识的增强，治愈率开始增加。同样我们对它进行指数回归分析得到如下结果（图3）：图3将得到的s(t) 、d(t) 、r(t)代入微分方程，得 我们利用matlab的微分方程数值求解命令ode45（），求得N(t
10、)的数值解，并画出随着时间变化的曲线（图4）：Matlab求解命令为：建立M文件eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N主程序：t,N=ode45(eq1,1 80,288);plot(t,N,r)图4 三 模型结果的分析与检验3.1模型与实际情况作对比图进行分析图5说明： Y轴表示SARS病人数 ，红色曲线表示我们得到的预测曲线；离散点表示实际统计数据由预测曲线可以看出： 病情在5月12号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓
11、的过渡时期； 疫情大约在6月12号之后开始缓解。； 感染系统大概在x=70时将降到0，因此，我们预计SARS疫情将在7月中旬得到基本的消除，即疫情的“最终控制期”；实际情况是： 病情在5月15号达到最高峰，比模型中的结果晚到三天，误差较小。值得注意的是，我们所要预测的是6月以后的发展趋势，因此这里产生的误差对预测不会造成太大影响。 疫情大约在6月12号之后开始缓解； 由图上可以看出，在6月之后，预测曲线和实际离散点开始接近； 通过在网上查阅资料，可以知道在7月15日全国仅有15人SARS病人接受治疗，可以认为疫情已经基本消除，和预测模型的结果相吻合。由以上对比我们知道，建立的微分方程模型较完整
12、地刻划了SARS病人数随时间变化的趋势，较好地解决了非典疫情的预测问题。3.2灵敏度分析通过查阅文献知，治愈率的倒数为平均传染周期，我们假设一旦进行严格隔离，则传染周期将减小。设提前天进行严格隔离，则原模型修改为：当时，分别代入相应的参数求解得到两条曲线，与时进行比较.建立M文件eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N;eq2.mfunction dN=eq2(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*ex
13、p(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t)+5)*N;eq3.mfunction dN=eq3(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t)-5)*N;主程序：x=1:1:65t,N1=ode45(eq1,1 80,288);t,N2=ode45(eq2,1 80,288);t,N3=ode45(eq3,1 56,288);%提前5天控制在matlab中积分区间只能取到56plot（t,N1,r,t,N2,g，t,N3,k,x,N,
14、b.）图6说明：黑色曲线表示提前5天进行隔离；绿色曲线表示延后5天进行隔离由图上可以看出按照我们提出的模型，提前采取严格的隔离措施l 能够大大缩短传染病的持续时间（大约能提前25天）；l 能提前进入疫情控制期；l 能对疫情进行有效地控制，这和实际情况也是完全吻合的。除了及时采取隔离措施以外，其他能够缩短平均传染周期的措施都能够有效地提高治愈率。如：对抗病毒药物的研究，建立紧急防疫机制，提高医疗软、硬件水平等。通过以上两个方面的分析，我们认为我们的模型在刻划SARS病毒的传播方面具有较强的针对性，可为预防和控制SARS疫情提供可靠、足够信息。3.3模型的评价3.3.1.模型的优点a我们在模型建立
15、的过程中，充分考虑到治愈和死亡这两因素对SARS病人数的的影响，引进了治愈率r（t） 和死亡率d（t） ，使模型更加贴近实际。b在数据有限的情况下，我们根据分析参数应有的变化规律，对数据进行指数回归分析，使离散的点连续化，建立了s、r、d关于时间t的函数关系式。 c利用s(t)、r(t)、d(t),我们利用求解微分方程的方法找到了N关于时间t的连续函数，使得SARS的传播问题描述的更加准确。在这里我们对模型中的做一些讨论，作的实际散点图如下图7所示：图7由于所以，画出其曲线得如下图8所示：图8比较图7和图8，可以看出，尽管我们没有对进行回归分析，但根据已求得的关系式，仍然可以如实地反映实际数据的变化情况。这说明模型是合理的。比较图3和图8，还可以看出退出率的曲线和治愈率的曲线极其接近，这说明，在影响退出率
