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1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：zxiy,x,y是实数，xRez,yImz.i21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2 .复数的表示D模：|z2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于（，中的幅角。3 ）argz与arctany之间的关系如下：x当x0,argzarctan;xc,yy0,argzarctan当x0,x；八，yy0,argzarctanx4）三角表示：zzcosisin,其中argz;注：中间一定是“+”5）指数表水：zzei,其中argz0（二）复数的运算1 .力口减法：若z1x1iy1,z2x
2、2iy2，则4z2Kx2iy1y22 .乘除法:1）若乙Xiiy1,z2x2iy2,则ZiZ2X1X2yy2i x2y1x1y2 ;ZXiiyXiy1X2iy2z2x2iy2x2iy2x2iy2X1X2 ym2X22V2i VX2i 2X22y2Z2Z2-1 -2） 若 Z1Zi ei1 ,Z2Z2 ei2 ,贝U Z1Z211i12z1z1i12zJZe；e3 .乘哥与方根1)若 z z (cosisin ) zei ,贝U zn zn (cosni sin n ) zn ein。2)若 z z (cosisin ) zei ,贝U2kcosn2k i sinn(k 0,1,2L n 1)(
3、有n个相异的值)-2 -（三）复变函数1 .复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2 .复初等函数指数函数：ezexcosyisiny,在z平面处处可导，处处解析；且ezez。注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数：Lnzlnzi（argz2k）（k0,1,2L）（多信函数）；主值：lnzlnziargz。（单信函数）1Lnz的每一个王值分支lnz在除去原点及负头轴的z平面内处处解析，且lnz一；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）乘哥与哥函数：abebLna（a0）;zbebLnz（z0）注：在除去原点及负实轴的
4、z平面内处处解析，且zbbzb1。coszsin ziziziziz.三角函数:eeee.sinz,sinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszsinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz注：有界性|sinz1,|cosz1不再成立；（与实函数不同）zz双曲函数shz-,chz2shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz, chzshz。（四）解析函数的概念1 .复变函数的导数1)点可导：f0f. zz f z0 ；2）区域可导：fz在区域内点点可导2 .解析函数的概念1）点解析：fz在Z0及其Z0的邻域内可导，称fz在Z0点解析;2
5、）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析;3）若f（z）在zo点不解析，称zo为fz的奇点;3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件:-,-此时，有fz-i-oxyyxxx2.函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：uvuv,;xyyx此时fzT。xx注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续
6、偏导数，则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f（z）uiv一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1 复变函数积分的概念：fzdzlimfkZk,c是光滑曲线。cnk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质1） fzdz1fzdz（c1与c的方向相反）
7、；cc12） fzgzdzfzdzgzdz,是常数；ccc3） 若曲线c由ci与C2连接而成，则fzdzfzdzfzdz。cc1c23复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：fzdzudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）ccc2）参数方法：设曲线c：zzt（t）,其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则fzdzfztz（t）dtoc（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1 柯西古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则?fzdz0c2 .复合闭路定理：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，G,c2,Lcn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以
8、ci,c2,Lcn为边界的区域全含于D内，则?fzdz?fzdz,ck1c：其中c与Ck均取正向;？fzdz0,其中由c及C1(k1,2,Ln)所组成的复合闭路3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分,不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点4 .解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内解析，Gz为fzz2在B内的一个原函数，则fzdzGz2Gz,(z,z2B)zi说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5 .柯西积分公式：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D,
9、zo为c内任意一点，则ofzdz2ifzo-czz。f z(z zo)n1dzn!z。(n 1,2L )6 .高阶导数公式：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为其中c为fz的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D7 .重要结论：?二7dz2i,0。(c是包含a的任意正向简单闭曲线)?(za)n10,n08 .复变函数积分的计算方法1)若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法fzdzfztztdtc2)设fz在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，？fzdz0c是D内的一条非闭曲线，Z1,Z2对应曲线c的起点和终点，则有z2fzdz
10、fzdzFZ2Fz1czi曲线c内仅有一个奇点:dz 2 i f z0 z zof (z)在c内解析)3)设fz在区域D内不解析fz?-Bdzc(zz)n曲线c内有多于一个奇点：？fzdz?fzdz(c内只有一个奇点zCck1ckn或：?fzdz2iResf(z),zk(留数基本定理)k1若被积函数不能表示成f,则须改用第五章留数定理来计算。(zzo)n1(八)解析函数与调和函数的关系1.调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数且22满足：0,(x,y)为D内的调和函数。xy2 .解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共
11、钝调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 .已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。1)偏微分法：若已知实部uux,y,利用CR条件，得,；xy对-u两边积分.yx得vdygxx(*)再对（*）式两边对X求偏导，得_v-udygx（*）XXX由CR条件，得2一dygX,可求出gx;yxyXX代入（*）式，可求得虚部v-udygx。X2）线积分法：若已知实部uux,y,利用CR条件可得x,yxo ,y（）uudx dy c ;yxvvuudv一dx-dy-dx一dy,故虚口6为vxyy
12、x由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x）,y0与x,y是解析区域中的两点3）不定积分法：若已知实部uu x,y ,根据解析函数的导数公式和C R条-# -件得知,将此式右端表示成z的函数U z ,由于fz仍为解析函数，f z U z dz c工u.vu.ufziixyxy注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列nanibn（n1,2L）收敛于复数abi的充要条件为limana,limbnb（同时成立）nn2）复数列0收敛实数列an,bn同时收敛。2 .复数项级数an与 bn同时收敛;n 0n 01）复数项级数n（nanibn
13、）收敛的充要条件是级数n02）级数收敛的必要条件是limn0onn注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（+）幕级数的敛放性1 .幕级数的概念：表达式cn（zz0）n或cnzn为幕级数。n0n02 .幕级数的敛散性1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果幕级数gzn在Zo0处收敛，那么对满足|z闾的一切z,该数绝对收敛;n0如果在Z0处发散，那么对满足ZZ0的一切Z,级数必发散。2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法根值法如果lim50,
14、则收敛半径R-;nimCn10,则收敛半径R;如果0,则R;说明在整个复平向上处处收敛；如果，则R0;说明仅在zZ0或Z0点收敛|;注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如CnZ2n）n03.幕级数的性质1）代数性质：设anZn,bnZnn 0n 0的收敛半径分别为Ri 与 R2,记 R min R（线性运算）则当zR时，(anbn)ZnanZnbnZn(anZn)(bnZn)n0n0n0(anbanibiLabn)zn(乘积运算)2) 复合性质：设当|r时，fann,当|zR时，gz解n0析且gzr,则当|zR时，fgzangzn。n03) 分析运算性质：设哥级数anzn的收敛半径为R0,则n0其和函数fzanzn是收敛圆内的解析函数；n0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且fznanzn1zRn0z在收敛圆
