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1、 指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（1）概念：若（），则称x为a的n次方根，“”是方根的记号（2）a的n次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根 ； n为奇数，=a；n为偶数，=|a|=2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义： （注：无意义）； ； （2）指数幂的运算性质 ； ； ； 二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象
2、与性质图象0a1yxOy=1(0,1)yxOy=1(0,1)性质定义域：R值域为：(0,+ ) 过定点：(0,1)，即x=0时，y=1当时，；当时，当时，；当时，在R上单调递减在R上单调递增【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题1：化简：（1）； （2）； （3）【解析】（1）； （2）； （3）= 【点评】不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用本题易错的是第（3）题，往往忽视a与2大小的讨论，造成错解例题2：计算：（1）； （2） 【解析】（1）原式； （2）3=3333=3=32=9【点评】利用分数指数幂的意义和有
3、理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算变式1：化简：（1）； （2）； （3）【解析】（1）原式=； （2）原式； （3）原式【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式变式2：若，则_ 【解析】【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将、看作一个整体，再进行代数运算题型二、指数函数概念、定义域和值域例题3：下列函数中属于指数函数的有（ ）个（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）A2 B3 C4 D5【解析】选A只有（4）（6）属于指数函数的形式【点评】在判断是否为
4、指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明的取值范围例题4：求下列函数的定义域和值域：（1） 2； （2）()； （3）y=ax-1 (a0，a1) 【解析】（1）令x-40，则x4，所以函数y=2的定义域是xRx4，又因为0，所以21，即函数y=2的值域是y|y0且y1 （2）因为-|x|0，所以只有x=0. 因此函数y=()的定义域是xx=0 而y=()=()0=1，即函数y=()的值域是yy=1 （3）定义域为R，因为的值域为，所以的值域为y=dxy=cxy=bxy=axOyx【点评】由于指数函数y=ax,(a0且a1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域
5、和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性例题5：如图，设a,b,c,d0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序 【 】A、abcd B、abdcC、badc D、bacd【解析】a1=a 直线x=1与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故bad1时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当0底数f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式5：当时，函数和的图象只可能是（ ）1xyO1xyO1xyO1xyOA B C D【解析】选项A中一次函数，指数函数应是减函数，故A对 选项B中一
6、次函数，指数函数应是增函数，故B错 选项C中一次函数，指数函数应是减函数，故C错 选项D中一次函数，指数函数应是增函数，故D错 故答案选A【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键题型三、解指数式方程、不等式例题6：解下列方程：（1）； （2）【解析】（1）； （2）【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解例题7：解下列不等式：（1）； （2）【解析】（1） （2）【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解变式6：解下列方程：（1）； （2）【解析】（1）原方程化为63-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0 3-x30，由3-x9=0得
7、3-x=32，故x=2是原方程的解 （2）原方程化为， ，得，【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1），把看成未知数，解得的一元二次方程的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验题型四、指数函数性质的应用例题8：比较下列两个数的大小：（1）； （2）；（3）； （4）,2【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数y=3x在R上是增函数，0.80.7，所以30.830.7；对（2）因为函数y=0.75x在R上是减函数，0.1-0.1，所以0.75-0.10.750.1；对（3）由指数函数的性质知1.80.61.80=1=0.800.81.6，
8、所以1.80.60.81.6；对（4）由指数函数的性质知()()0=1=202，所以()2 【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”例题9：求函数的单调区间和值域【解析】令在上递减，在上递增，又为减函数，所以在上递增，在上递减，当时，为最大值，所以的值域为【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间变式7：已知是奇函数，求常数的值【解析】由是奇函数，得，即，得【点评】此题中函数的定义
9、域为，所以不能利用来求解，应利用奇函数的定义求出值变式8：判断函数的单调性、奇偶性【解析】任取，使，因为，所以，为增函数，所以，所以，所以在上单调递增；，所以为奇函数【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘化简，从而比较与的关系【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充
10、到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1下列各式中正确的是（ ） A、=a B、= C、a 0=1 D、=.2将化为分数指数幂的形式为（ ） A、 B、 C、 D、 3函数f (x)的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、4下列函数中，值域为的函数是（ ）A、 B、 C、 D、 5已知指数函数图像经过点，则 6若= a-1，则a的取值范围为 7=_ 8若函数是奇函数，则=_9已知函数，求其单调区间及值域10已知函数.（1）用函数
11、单调性定义及指数函数性质证明：是区间上的增函数；（2）若，求的值 【课后作业】1下列各式中成立的一项（ ）A、 B、 C、 D、2化简(a, b为正数)的结果是（ ）A、 B、ab C、D、a2b3设，则（ ）A、 B、 C、 D、4函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） A、 B、C、 D、5函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、6函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A、6,+ B、 C、 D、7设5x=4，5y=2，则= 8= 9函数的图象恒过定点_10若函数是奇函数，则=_11已知，求的最小值与最大值12已知（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：是定义域内的增函数；（3）求的值域
