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1、专题四 曲线运动和万有引力定律一、知识梳理曲线运动曲线运动的条件：所受合外力的方向与速度方向不在一条直线上研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解两种特殊的曲线运动平抛运动运动性质：匀变速曲线运动规律： 匀速圆周运动性质：加速度方向时刻改变的变速运动描述匀速圆周运动快慢的几个物理量 向心力向心加速度万有引力定律计算公式：适用条件：质点之间卫星问题：说明：1对于平抛运动，除了熟练掌握其运动规律外，还要重视平抛实验中根据轨迹求平抛初速度的方法.（）2对于圆周运动，熟练分析向心力的来源并熟练掌握其运动规律.（）3万有引力定律，侧重于卫星问题，紧紧把握住万有引力是卫星做圆周运动的向心力，同时注意区分环
2、绕问题和变轨问题. （）二、技能探究1例题讲解*精例1：小船在=200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航行速度为4m/s，求：（1）小船渡河的最短时间？（2）要使小船航程最短，又应该如何航行？问题1：当水流速度为零，即该船在静水中航行时，它的运动情况如何？答：由于在静水中，水对船的航行不会产生影响.因此船的航行情况由它相对于静水的航行速度4m/s决定，的方向（即船头的方向）就是船实际运动的方向，其速度大小就是4m/s.如图41所示.问题2：当水流速度不为零，而船在静水中的航行速度0时，它的运动情况又如何？答：由于水在流动，即使船“自身不动”，即船在静水中的航行速度0，该船也不会
3、保持静止，它仍然会被流水向下游方向冲走，在岸边的观察者看来，船将以水流速度往下游方向移动. 如图42所示.问题3：当水流速度不为零，船在静水中的航行速度也不为零时，它的运动情况又如何？答：此时船同时参与两个运动：一个是船本身航行的运动，其速度为船在静水中的航行速度；另一个是被水冲往下游的运动，其速度为.岸边的观察者看到的船的实际运动是这两个运动的合运动，而不是其中的任一个分运动.其实际速度（即合速度）是和的矢量和. 如图43所示.图43图42图41问题4：问题3中船的实际运动方向与船头的方向一致吗？答：多数情况下都不一致.如图4-3所示.问题5：问题3中根据运动的合成与分解，可不可以再把船速分
4、解呢？答：可以.如可以把船速分解到平行于河岸方向（）和垂直于河岸方向（）.此时船的实际运动可看成三个分运动的合成. 如图44所示.图45图44问题6：怎样调整船头方向，才能使渡河的时间最短？答：由于河岸宽度一定，因此只要垂直于河岸方向的分运动速度取最大即可.显然，当船头垂直于河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，其最短时间为.如图45所示.问题7：船过河时航程最短指的是什么？理想情况下的最短航程是多少？答：指实际运动（即合运动）的路程最短.理想情况下的最短航程就是河岸宽度.问题8：怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向垂直于河岸的方向.这就要求船头方向（即船速的方向
5、）朝上游方向倾斜.如图46所示.或者让船速的平行于河岸方向的速度分量（）等于水速，即.本题中，即.如图47所示.图47图46问题9：船要能垂直于河岸渡河需要满足一定的前提条件吗？答：显然需满足，即船速大于水速.问题10：若船速小于水速，怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，如图4-8所示，即越小越好.怎样讨论这个问题呢？其实用矢量合成的三角形法则最好，平移矢量，使和首尾相接于点P，如图4-9所示.为了讨论何种情况下取最小，我们可以以P点为圆心，大小为半径画圆，矢量以P点为圆心转动，即表示可取的若干种可能方向，而合运动速度方向的可能性自然一目了然. 如
6、图410所示.显然当合运动速度方向与圆弧相切时取最小，即航程最短.此时，船速与上游河岸的夹角.如图411所示.图49图48图410图411*图412精例2：如图412所示，站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长的绳子拉动停在平静湖面上的小船，若人拉着自由端Q以水平速度匀速向左前进，试分析图示位置时船水平向左的运动速度v.问题1：在相同时间内，滑轮左侧绳子水平部分伸长量与滑轮右侧倾斜部分缩短量是否相等？答：由于绳子不可伸长，因此相等.问题2：绳子拴在船头的端点P沿绳子方向“缩短”的速度等于自由端Q前进的速度吗？答：由问题1，它们显然相等，即端点P沿绳子方向“缩短”的速度为.问题3：在一段时间内，自
7、由端Q前进的位移与船前进的位移相等吗？答：如图所示，小船前进到图中虚线位置，绳子拴在船头的端点P到达位置，以O为半径画圆交OP于，显然等于自由端Q前进的距离，而船前进的距离与并不相等. 如图413所示.在很小且趋于零的情况下，则.所以，在一段时间内，自由端Q前进的位移小于船前进的位移，即自由端Q前进的速度小于船前进靠岸的速度.图413问题4：如图415所示.把端点P沿绳子方向“缩短”的速度分解到水平方向和竖直方向，水平分量就是船靠岸的速度吗？图414答：不是.因为，通过问题3的分析可知，船靠岸的速度应该大于.而如果如图所示分解的话， 反而是船靠岸的速度应该小于.问题5：由于船不断靠岸，端点P不
8、断左移，使得绳子的倾斜部分发生了哪些变化呢？答：倾斜部分一方面沿绳子方向不断缩短；另一方面与竖直方向的夹角越来越小，即以O点为轴顺时针摆动.因此绳子端点从P到达的过程，可以这样来看：先沿绳子缩短到，在垂直于绳子从摆动到.问题6：绳子端点P的运动可看成哪几个运动的合成？哪个是合运动？哪些是分运动？答：岸边的观察者实际看到的端点P的运动应该是水平向左靠近岸边的运动，这就是合运动.由问题5的分析可知，这个运动可以看出沿绳子方向的收缩的分运动和垂直与绳子摆动的分运动的合成.问题7：怎样分解端点P的合运动（实际运动）呢？图415答：分解如图415所示.即：问题8：问题3中分析的结果与问题7中分析的结果一
9、致吗？答：问题3中分析到，在很小且趋于零的情况下，而 即因此问题3与问题7中分析的结果是一致的.*精例3：如图416所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，则（ ）图416A当v1v2时，B当v1v2时，C无论v1、v2关系如何，均有=D、的关系与斜面倾角有关问题1：平抛运动一般可以怎样进行处理？答：平抛运动一般分解成两个直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.这样我们就把平抛运动这种曲线运动变成了两个简单的直线运动
10、的合成，处理起来变得比较简单.这就是我们常说的“变曲为直”.图418图417问题2：在研究平抛运动时我们经常会分析的角度是哪个？这样分析？答：在研究平抛运动时我们经常分析某一时刻的瞬时速度v与平抛初速度之间的夹角.关于此角度我们常常这样来处理：平抛运动的某一时刻的瞬时速度v由水平方向匀速运动的速度和竖直方向自由落体的速度合成，如图4-17所示，因此.问题3：题目中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角可能与问题2中所分析的角度有什么联系呢？答：本题中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角与问题2中所分析的v与之间的夹角并非同一角度.但是，它们之间却有确定的关系即：.问题4：怎样找出与夹角有
11、关的物理关系式呢？答：由问题3的分析可知，因此只需找出即可.而由竖直方向的自由落体运动规律：，我们应该进一步找出从抛出至达到斜面所经历的时间t.问题5：一般怎样确定平抛运动的时间呢？答：平抛运动的时间一般由下落高度来决定.即.问题6：本题中由于下落高度也不确定，怎样求出时间呢？答：我们考虑到水平分运动：.并且本题中有斜面作为“背景”，水平位移与竖直位移之间有确定的关系：，即，.如图418所示.问题7：根据上述分析可以找出与夹角有关的物理关系式了吗？答：可以.根据问题4的分析，再根据问题6的分析，所以，这说明夹角只与斜面倾角有关，与平抛初速度无关.故本题的正确答案选C.问题8：本题还有其他的解决
12、办法吗？答：此题也可把平抛运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向.沿斜面方向：初速度为，加速度为；垂直于斜面方向：初速度为，加速度为.这样从抛出到落回斜面，由垂直于斜面方向的分运动就能确定，.同样可以解决.如果熟练，此法在类似问题中更简洁.同学们注意领会.*图419精例4：如图419所示，在“研究平抛物体的运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的、所示，则小球平抛的初速度的计算式为= （用、表示），其值是 （取=9.8m/s2），小球在点的速率是 问题1：在学生分组实验中利用平抛轨迹求平抛初速度的常用办法是什么？答：知道抛出点的情况下
13、，只需在轨迹上任找一个点，测出该点的横、纵坐标（即从抛出到此时的水平、竖直位移），利用，即可求出问题2：本题可否用问题1中的办法求解？答：不能.因为本题中并不知道平抛抛出点.问题3：本题中求平抛初速度我们首先应该考虑到如何入手呢？答：我们应该首先考虑与平抛初速度有关的水平方向的分运动，.比如，我们知道轨迹上a、b两个点的水平距离，只需再求出从a点运动到b点的时间T即可.问题4：可否利用从a点运动到b点过程中的竖直分运动来求解从a点运动到b点的时间T呢？答：不能.我们虽知道从a点运动到b点过程竖直方向的位移为，但由于a点不是抛出点，即经过a点时速度的竖直分量，是未知量，因此我们没办法通过来求出时
14、间T.问题5：怎样求解从a点运动到b点的时间T呢？答：从题目提供的数据来看，除了知道a点运动到b点过程竖直方向的位移外，我们还知道b点运动到c点过程竖直方向的位移， c点运动到d点过程竖直方向的位移.这些数据很容易让我们联想到匀变速运动的规律，而平抛运动的竖直分运动就是匀变速运动，加速度.a点运动到b点过程、b点运动到c点过程及c点运动到d点过程由于水平位移相等，因此这三段时间相等.因此有，即.问题6：能够求出平抛初速度了吗？答：可以.，代入数据得：m/s问题7：怎样求点的速率？答：点的速度由水平分速度和竖直分速度合成，即.因此只要求出竖直分速度即可.问题8：怎样求出点的竖直分速度呢？答：根据问题5的分析，我们还是充分利用竖直分运动是匀变速运动这个特点，根据匀变速运动的特点，某一过程中的平均速度等于该过程中间时刻的瞬时速度（在纸带问题中求瞬时速度也常用此法）. 点是a点运动到c点过程的中间时刻，因此，点的速度为：m/s*O1图420精例5：如图420所示皮带传送装置，主动轮O1的半径为R，从动轮O2的半径为r，.其中A、B两点分别是两轮缘上的点，C点到主动轮轴心的距离，设皮带不打滑，则有：_；_；_；_；_；向心加速度_
