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1、信息论与编码理论倍道编码概述1. 计算码长n=5的二元毛复码的平均译码错误概率。假设无记忆二元对称信道错误 传递概率为p此码能检测出多少位错误?又能纠正多少位错误?如令p =0 01,平均 译码错误概率是多大?解: 码长n=5的二元重复码是(00000, 11111),码间般短距离为5, dira5=e+l e=4可以检测出小于等于4位以下的错误。 =5=2X2+1=21+1 t=2可以纠正2位及2位以卞的错误。匕=C; p5 + C; p4 (1 一 p) + C: p3 (1-P)2 p= 0.01=0.98xl052. 设有一个离散无记忆信道.其信道矩阵为1/2 1/3 1/6P= 1/
2、6 1/2 1/31/3 1/6 1/2若信源概率分布为p(xAl/2, p(x2p(X3l/4,求最佳译码时的平均错误译码概率。 解: 极人似然译码规则译码时,由转移概率矩阵可知:第-列中.第二列社,第三 列中丄为转移概率的最大值,所以平均错误概率为:2门11r1iixizi1、1匕=X (+) + x(-+ _)+ - x(+ ) = E23643 64362小错误概率译码,输入X与输出y的联合概率分布为:丄丄46121 1 124,8,121 1 112248n /11、1、1、11R? = ( + ) + ( + ) + ( + )=24 1282412 122411 1由于-242可
3、以看出最佳译码为最小错误概率译码,平均错误概率为二243. 将M个消息编成长为n的二元数字序列,此特定的M个二元序列从于个可 选择的序列中独立地等概率地选出。设采用最大似然译码规则译码,求在图 68中(a)、(b)、(c)三种信道下的平均错谋译码概率。0E1#信息论与编码理论#信息论与编码理论图68三个信逍(1)由图可知.其转移概率矩阵为:l-p P P 1 - P_#信息论与编码理论#信息论与编码理论该信道任意一个斥列译码错误概率为:尸l-(lp)(lp)C:G)+l-(lpHlp 严C:(扣 +l-(l-pr(lT)0C:(l)M二1一(1计 平均译码错误概率为:& = M x-xl-(l
4、-p)n= -xl-(l-p)n(2)由图可知,其转移概率矩阵为:)0 P 1 - p_任意一个序列译码错误的概率为:p=l-(l-p)nc:(i)a+l-(l-prct(ir+l-(l-p)C:(i)n乙乙乙=1-(讣2平均译码错误概率为:2n L 2 2 L 2(3)由图可知.其转移概率矩阵为:1-p p 00 p l-p一个序列错误译码的概率为:p= 1 - (1 -p)n c:( | )n+ 1 - (1 -P)n C( 1 )n+l-(l-p)nC:(l)n乙乙乙I=l-(l-p)n平均译码错误概率为:Pe =MX 貨 xl-(l_p)n=%xl-(l-p)n4. 某一个信道输入X的
5、符号集为0, 1/2,1,输出Y的符号集为0,1,信道矩阵为1 01/2 1/20 1现有4个消息的信源通过该信道传输,设每个消息等概出现。若对信源进行编码,选 用的码为 C=(0, 0, 1/2, 1/2), (0, 1, 1/2, 1/2), (1, 0, 1/2, 1/2), (1,1, 1/2, 1/2) 译码规 则为解:(1) 求信息传输率:R= 1og4 = 1 st/符号11 2(2) 求平均错谋译码概率。根据信道的传输特性,町知町以输出于=16种序列,可以分成4个子集,分别为: a!=(0 0 i -) (0 0 y3 y j2y3, y f (0 1)(i i y3 y.)%=(17)-*(l 0 y5 yj传输信道如下所示:(00|(1 01.2(1 10000 0001 00100011 0100 0101 0110 0111looo looi loio ion uoo uoi mo mi11110000000000004444000011110000000044440000000011110000444400000000000011114444 .译码规则为:f(y.丫2, J*)=(儿,1yp,每个码字引起错误的概率:Pe =工 p(0 1q)xp(f(%)=01=1、2、3、4所以 PE =S rtax)Pe=(#