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1、第一章：预备知识 概率空间 随机试验，样本空间记为Q。定义 设Q是一个集合，F是Q的某些子集组成的集合族。如果(1)F；(2)若A F ,则A A F;(3)若 An F , n 1,2,则An F；n 1则称F为 代数(Borel域)。(，F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知： F;(5)若A, B F,则A B F; n n若A F, i 1,2,则 A, A, Ai F. i 1 i 1 i 1定义 设(，F)是可测空间，P( )是定义在F上的实值函数。如果任意A F,0 P A 1;(2) P1;(3)对两两互不相容事件 A1A，当i j时，A Aj，有P A P Ai i
2、 1i 1则称P是 ，F上的概率，(，F, P)称为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义 设(，F, P)是概率空间，G F ,如果对任意 A,A2, ,An G,nnn 1,2,有:P A P Ai ,i 1i 1则称G为独立事件族。随机变量及其分布随机变量 X,分布函数F (x) , n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，Xt,t T是独立的。随机变量的数字特征定义设随机变量X的分布函数为F(x),若 |x|dF(x) ，则称E(X)= xdF(x)为X的数学期望 或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，Bxy E X EX Y EY 为X、丫的协方
3、差，而为X、Y的相关系数。若XYXYBXY.DX DY。，则称X、Y不相关。(Schwarz 不等式)若 EX 2, EY2，则EXY 2 EX2EY2.特征函数、母函数和拉氏变换定义1.10 设随机变量的分布函数为F (x),称g(t)E(ejtX)ejtxdF x ,t为X的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质：g(0) 1, g(t) i,g( t) g(t)i(2 ) g 在 ，上一致连续。(3) g(k)(0) ikE(Xk)(4)若Xi,X2,L ,Xn是相互独立的随机变量，则X Xi X2 LXn的特征函数g(t) gi(t)g2(t)L gn(t),其中g)是随机变量x的特征
4、函数，i 1,2,L ,n.定义 1 .11 设 X (X1,X2,L ,Xn)是 n 维随机变量，t = (t1,t2,L ,tn)R,则称n.itXg(t) g(t1,t2,L ,tn) E(e ) Eexp(i tkXk), k 1为X的特征函数。定义 设X是非负整数值随机变量，分布列PkP Xxk ,k 1,2,则称defP(s)E(sX)=PkSkk 0为X的母函数。 n维正态分布定义 若n维随机变量X (X1,X2, ,Xn)的联合概率密度为f(x) f(x1,x2, , xn)(2 )n/2 B11T、於 exp 2(x a)B (x a) 式中，a (a1,a2, ,an)是常
5、向量，B (坊)n n是正定矩阵，则称 X为n维正态随机变 量或服从n维正态分布，记作 X N(a, B)。可以证明，若 X N(a,B),则X的特征函数为，、，、1 g、g(t) g(ti,t2, ,tn) expiat -iBt2为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质 1 若 X N(a,B)则 E(Xk) ak，BxkXibki，l 1,2, ,n。性质2设XN(a, B), Y XA,若A BA正定，则Y N(aA, ABA)。即正态 随机变量的线性变换仍为正态随机变量。性质3设X (Xi，X2，X3，X4)是四维正态随机变量，E(Xk) 0,k 1,2,3,4,
6、则E(XiX2X3X4) E(X1X2)E(X3X4) E(X1X3)E(X2X4) E(X1X4)E(X2X3) 条件期望给定Y=y时，X的条件期望定义为E(X|Y y) xdF(x|y) xf(x|y)dx由此可见除了概率是关于事件Y=y的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能值。若在已知 Y的条件下，全面地考虑 X的均 值，需要以Y代替V, E(X|Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为 X在Y下的条件期 望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一 个极其有用的性质。性质 若随机变量X与Y的期望
7、存在，则E(X) EE(X|Y) E(X |Y y)dFY(y)-一如果Y是离散型随机变量，则上式为E(X) E(X|Y y)PY y y 如果Y是连续型，具有概率密度 f(x),则(1)式为E(X) E(X|Y y)f(y)dy第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的基本概念定义 设(，F, P)是概率空间T是给定的参数集，若对每个tCT,有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族X(t,e),t 丁是(,F, P)的随机过程，简记为随机过程X(t),t T 。 T称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程X(t,e),t T解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的状态。X(t)
8、的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学的观点来说，随机过程X(t,e),t T是定义在Tx Q上的二元函数。对固定的t, X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程X(t,e),t T的一个样本函数 或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。随机过程的函数特征Xt =X(t),t e T的有限维分布函数族。有限维特征函数族：gti, ,tn( 1, 2, n)：ti,t2, ,tn T,n 1其中：ngti, ,tn( 1, 2, n) E(exp ikX(tk)k 1定义 设 Xt=X,te T的均值函数 mX(t)def EX(t) , t T。二阶矩过程，协
9、方差函数：Dx(。Bx(t,t)defEX(t) mX(t)2,t T相关函数：Rx(s,t)EX(s)X(t)定义 设X(t),tCT, Y(t),te T是两个二阶矩过程，互协方差函数，互相关函数。复随机过程定义设Xt,t T, Y,t T是取实数值的两个随机过程，若对任意t T乙 Xt iYt ,其中i则称Zt,t T为复随机过程.定理复随机过程Xt,t T的协方差函数B(s,t)具有性质(1)对称性：B(s,t) B(t,s);(2)非负定性几种重要的随机过程一、正交增量过程定义设 t,t是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1 t2 t3 t4，有公式t2tl 4tT 0,则称 t正交增
10、量过程。 2 s,t R s,t min s,t二、独立增量过程定义设 t,t是随机过程，若对任意的正整数 n和t1 t2tn ，随机变量 t2tl , t3t2 , , tntn 1是互相独立的，则称 t ,t 是独立增量过程，又称可加过程。定义设 t ,t是平稳独立增量过程，若对任意S t,随机变量t S的分布仅依赖于t S,则称 t ,t是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定义设 X t ,t T 为随机过程若对任意正整数 n 及tit2, tn，PX(ti)Xi, ,X tn 1 Xn 10 ,且其条件分布P X(tn) Xn | X tiXi,X tniXni =PX(tn) Xn
11、| X tn i则称X t ,t T为马尔可夫过程。四、正态过程和维纳过程定义设 X t ,t T 是随机过程，若对任意正整数t1，t2，tT,(Xt,Xt2, ,X tn )是n维正态随机变量，则称X t ,t T是正态过程或高斯过程。定义 设W，t 为随机过程，如果(1) W(0) 0;(2)它是独立、平稳增量过程；(3)对 s,t,增量 W(t) W(s)N0, 2 |t s|, 20,则称 W(t), t为维纳过程，也称布朗运动过程。定理 设 W(t), t是参数为2的维纳过程，则(1)任意 t (, ),W(t) N 0, 2 |t| ;(2) 对任意 a s,t , 2 E (W(
12、s) W(a)(W(t) W(a)2 min( s a,t a),特另ij： Rw s,t 2 min s,t o五、平稳过程定义 设X t ,t T是随机过程，如果对任意常数 和正整数n,当 t1, ,tn,t1,tn时，t1,t2,tn与t1,t2, , tn有相同的联合分布，则称X t ,t T为严平稳过程，也称狭义平稳过程。定义 设X t ,t T是随机过程，如果(1) X t ,t T是二阶矩过程；(2)对于任意t ,m t t 常数；(3)对任意的s,t ,R s,t R t s ,则称X t ,t T为广义平稳过程，简称 为平稳过程。若T为离散集，则称平稳过程X t ,t T为平
13、稳序列。第三章泊松过程 3 .1泊松过程的定义和例子定义计数过程定义称计数过程X(t),t 0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件(1) X(0)= 0;(2) X(t)是独立增量过程；(3)在任一长度为t的区间中，事件 A发生的次数服从参数t0的泊松分布，即对任意s,t0,有t ( t)nPX(s t) X(s) n e )-,(n 0,1,2, )(3.1)n!注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且EX(t) t。由于，示单位时间内事件 A发生的平均个数，故称 为此过程的 速率或强度。定义称计数过程X(t),t 0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件 X(0)= 0;(3)
14、X(t)是独立、平稳增量过程；(4) X(t)满足下列两式：PX(th)X(t)1 ho(h),PX(th)X(t)2o(h)定理定义与定义是等价的。泊松过程的基本性质、数字特征设X(t),t 0是泊松过程,mx(t)E(X(t)tX(t) D(X(t)tRx(s,t)E(X(s)X(t) s( t 1)Bx(s,t)Rx(s# mx(s)mX(t) s般泊松过程的有 BX(s,t)min(s,t)。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为gX(u) EeiuXexp t(eiu 1) 二、时间间隔与等待时间的分布Wn为第n次事件A出现的时刻或第 n次事件A的等待时间，是第n个时间间隔，它们都是随机变量。定理设X(t),t0是具有参数的泊松分布，Tn(n 1)是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n1,2,)是独立同分布的均值为1/的指数分布。定理设Wn,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为fWn (黑0, t 0三、到达时间的条件分布定理 设X(t),t 0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次到达时Wn与相应于n个0,t上均匀分布的独立
