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1、 第3节几何概型课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号与长度(角度)有关的几何概型2、3、4、6、14与面积(体积)有关的几何概型1、8、9、15随机模拟5、7、10综合应用11、12、13、16A组一、选择题1.欧阳修卖油翁中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.”可见卖油翁技艺让人叹服.若铜钱直径3厘米,中间有边长为1厘米的正方形孔,你随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油正好落入孔中的概率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:此题属几何概型,正好落入孔中的概率是=,故选D.2.设x0,则sin x的概率为(C)(A)(B)
2、(C)(D)解析:由sin x且x0,借助于正弦曲线可得x,P=,故选C.3.在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC的面积大于的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,当BM=BA时,MBC的面积为,而当P在M、A之间运动时,PBC的面积大于,即MA=AB,则PBC的面积大于的概率P=,故选C.4.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可知,三角形的边长的和为5+12+13=30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的区域长度为3+10+11=24
3、,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为=.故选A.5.(20xx北京海淀区三模)如图所示,在边长为a的正方形内有不规则图形.向正方形内随机撒豆子,豆子在图形内和正方形内的豆子数分别为m,n,则图形面积的估计值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题知,所以SS正方形=,即图形面积的估计值为.故选C.6.(高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为,则等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,M、N分别是矩形CD边上的四等分点,由题意,点P在线段MN上,满足条件,则BN=AB,由勾股定理,AD2+（AB）2=AB2,7AB2=16A
4、D2,得=.故选D.二、填空题7.(高考福建卷)利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-10”发生的概率为.解析:由题意得0a,根据几何概型概率公式得事件“3a-10”发生的概率为.答案:8.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为.解析:蜜蜂要想安全飞行,应在原大正方体中一个棱长为1的小正方体内部飞行,所以安全飞行的概率P=.答案:9.(20xx广州市毕业班综合测试(二)如图,一个等腰直角三角形的直角边长为2,分别以三个顶点为圆心,1为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围
5、成区域M(图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P,则点P落在区域M内的概率为.解析:依题意得,所求的概率等于1-=1-.答案:1-10.(20xx厦门模拟)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点;则P点到A点的距离大于1米,同时DPC(0,)的概率为.解析:由题意知P点在以DC为直径的圆外,且在以A为圆心1为半径的圆外,即P点在如图所示的阴影部分内,则概率为P=1-.答案:1-三、解答题11.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夹角是钝角的概率.解:设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得ab0,即
6、2x+y0,且x2y.基本事件空间为=(x,y)|,B=(x,y)|则由图可知,P(B)=,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.12.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a0,b0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2,即如图矩形OBCD及内部构成事件A的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab,即如图矩形内阴影部分,所以所求的概率为P(A)=.13.已知|x|2,|y|2,点P的
7、坐标为(x,y).(1)求当x,yR时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率;(2)求当x,yZ时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率.解:(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),且满足(x-2)2+(y-2)24的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).所求的概率P1=.(2)满足x,yZ,且|x|2,|y|2的点(x,y)有25个,满足x,yZ,且满足(x-2)2+(y-2)24的点(x,y)有6个,所求的概率P2=.B组14.如图所示,在ABC中,B=60,C=45,高AD=,在BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概率为(B) (A)(
8、B)(C)(D)解析:B=60,C=45,BAC=75.在RtADB中,AD=,B=60,BD=1,BAD=30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1”,则可得BAMBAD时事件N发生.由几何概型的概率公式得P(N)=,故选B.15.(20xx潍坊一模)在区间0,4内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为.解析:若函数f(x)有零点,则=a2-4b20,即a2b或a-2b,用(a,b)表示平面内的点则在区间0,4内任取(a,b)构成如图正方形OABC及内部的区域,面积为16,满足0区域为阴影部分面积为42=4,所以f(x)有零点的概率为=.答案:16.(20xx苏北四市模拟)已知函数f(x)=ax2-bx-1,其中a(0,2,b(0,2,则此函数在区间1,+)上为增函数的概率为.解析:把(a,b)看成平面区域内的点,则(a,b)满足a(0,2,b(0,2时的区域为如图正方形OABC及内部,函数f(x)=ax2-bx-1在,+上为增函数,据已知条件可知,1,b2a,在正方形内满足b2a的区域为如图阴影部分所示,所求概率P=.答案:
