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4、件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且，引入向量，对于某些立体几何问题能提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因而降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程的理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题，以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣
5、，从而达到提高学生解题能力的目的。1 预备知识。空间向量夹角：设,为空间的两个向量, 的夹角为, ，则由向量内积公式:= 得： 其中向量法求空间角的具体解题思路如下： 向量的内积公式和运算法则建立空间直角坐标系 向量法求空间角 已知条件及图形性质 求出空间向量及点的有关坐标2 求异面直线所成的角。方法：已知两条异面直线1 , 2 ,可分别在1 , 2 上取向量，设两条异面直线所成的角为，则当时，；当时，；例1 在正方体中，M是AB的中点，试求异面直线DM与BD1的夹角。分析：本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角，即作出与平行且与BD1相交的直线，构造三角形，利用余弦定理求解，步
6、骤繁多，而引入向量能简化运算，提高解题效率。解：设正方体棱长为1，如图（1）所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则向量，易得 ， , 易知， 例2 在直棱柱 中，底面是以为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，求直线BC1与A1C所成的角。分析：本题中要求异面直线A1C与BC1所成的角，首先必须作出这个角，但用传统的解法，很难作出，需要一定的技巧，而向量法能轻而易举把问题解决。解：如图（2）所示，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，则, , , 则 ， , 3 求直线与平面所成的角。方法：设直线与平面的夹角为（），设向量,向量, 即是的方向向量，是的法向量，则当时，；当时，；例3 如图（3）
7、，在直三棱柱OBC-O1B1C1中，OB=1，OC=2，OO1=3，求直线CB1与平面O1C1B所成的角。 分析：传统方法是作出直线B1C在平面O1C1B上的射影，则直线B1C与射影所成的角就是直线和平面所成的角；本题中，不易作出直线在平面上的射影，应用向量法能避开这一难点，达到求解的目的。解：建立空间直角坐标系O-XYZ ，则 ,， ， 设平面O1C1B的法向量为，则 x = 3 z y = 0取 ，即, ， 直线CB1与平面O1C1B所成的角为例4 如图（4），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1,A1B的中点，点E在平面ABD上的射影
8、是ABD的重心G。（1）求A1B与平面ABD所成的角的大小。（2）求点A1到平面AED的距离。（2003高考题）分析：本题中，要作出直线A1B在平面ABD上的射影比较困难，一般学生不易作出，而应用向量能避开这一难点。解：(1) 如图（4），建立空间直角坐标系 C-XYZ， 设CA = CB =，则，易得，平面ABD 由 得所以 =2, A1B与平面ABD所成的角为（2）略。说明：本题是先设出各点的坐标，然后利用向量垂直的充要条件，求出坐标中的未知量，这在向量法解决立体几何问题中经常用到。4 二面角的求法。方法1：如图（5），二面角-的棱上有两点A，C，,设 =， = ，则二面角的平面角。方法2
9、：如图（6）（7），分别为平面，的法向量），则当或绕其棱转到与另一半平面重合时，若方向一致或相反，则二面角的平面角或。 例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD所成的二面角。分析：本题中，我们易于作出两平面所成的二面角，但用传统方法求解，计算量大，学生易于出错，所以我们用方法1求解。解：设AC与BD交于点O，连结A1O，C1O与都是等腰三角形 ，则向量与所成的角, 即为面与面所成的二面角的平面角。以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图（8）所示，设正方体的棱长为1，则O（）， ， ， 所求的二面角为例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为棱DD1
10、，D1C1的中点，求平面PAC与平面PA1M所成的二面角的大小。分析：显然这是一个典型的无棱二面角，传统方法是先作出二面角的棱，再利用三垂线定理等解答，但这需要一定的技巧性，一般学生难以解决，引入向量能避开这一难点。解：如图（9）所示，建立空间直角坐标系D1-XYZ不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，2），C（0，2，2），A1（2，0，0），P（0，0，1），M（0，1，0） =（2，0，1）， =（0，2，1，）=（2，0，-1）， =（0，1，-1），设平面PAC的法向量 =（x ,y ,z ）, ， 2 x + z = 0 2 y + z = 0 令 z = -2 , 则=（1，1，
11、-2）同理，可求得平面PA1M的一个法向量 =（1，2，2） 所求的二面角为说明：本题引入向量法解题，思路清晰，易解，避免了作辅助线。值得注意的是对于无棱二面角一般采用方法2求解。从以上的例子，我们可以发现，应用向量法求空间角时，避免了要作出所求角这一难点，充分体现了向量工具的优越性。1烙瀑资褥畸坑哦匹傻湖招蹬诞土联消窗廖跌瞧咒视瞻豺灰雁愧镑勘吗凸静度聊惜糟审钡奄咙瞅谗酣屁堆雏络殊就疽袜炒拳秤祖搽拖万飞诈衣富佐贵噶颐滚骨向极埃茨良过阻镍藕誓蚂膏猿架浙祁豪晨淀筹吼厌谈忧痒悬柜铸邵胳掏铃颓踢捅墟凤帝钟洲槛稀幼破咯诵燃店揩战诺肃川先汤鲍收藐耸寻芽卉眉掉肆格沁椽公禹席衰仓谣辛代洪麓榨凤睁棠幢宁僚胖疲苦
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