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1、课时训练50 轨迹问题【说明】 本试卷总分值100分，考试时间90分钟.一、选择题每题6分，共42分1.两定点A-2，-1，B2，-1，动点P在抛物线y=x2上移动，那么PAB重心G的轨迹方程是 A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2-答案：B解析：设Gx,y，Px0,y0那么x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心G的轨迹方程：3x+2=(3x)2.2.曲线C上任意一点到定点A1，0与到定直线x=4的距离之差等于5，那么此曲线C是 答案：B解析：设Px,y为曲线C上任意一点，由题意，得-|x-4|=5，故y2=故曲线C是由两段抛物线弧连接而成.B.到定点F-c
2、，0和到定直线x=-的距离之比为ac0的点的轨迹是椭圆的左半局部C.到定直线x=-和到定点F-c，0的距离之比为ac0的点的轨迹是椭圆D.平面上到两定点的距离之比等于常数不等于1的点的轨迹是圆答案：D解析：对照椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是 答案：A解析：设动圆圆心为Px，y，半径为r，又圆x-32+y2=1的圆心为F3,0.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.5.点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M-1，2，Q是线段PM延长线上的一
3、点，且|PM|=|MQ|，那么Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0答案：D解析：设Qx，y，那么P点-x-2，-y+4，又点P在直线2x-y+3=0上，故2-x-2-y+4+3=0，即：2x-y+5=0.1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，那么直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：C解析：设P1、P2两点的横坐标为x=3cos，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cos,2sin),P2(3cos,-2sin),故直线A1P1和A2
4、P2方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点Px，y，那么y2=(x2-9)，即=1.7.点Mx，y与定点F1，0的距离和它到直线x=8的距离的比为，那么动点M的轨迹方程为( )A.=1 B.=1C.2+4y2+8x-60=0答案：D解析：设M为x，y，那么|x-8|=12.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.二、填空题每题5分，共15分8.(北京西城区一模，12)点P0，2到圆C：x+12+y2=1的圆心的距离为_，如果A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_.答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圆的方程圆心(c-1,0),那么P到圆心的距离d=.设A、B点的坐
5、标分别为x0,y0、x,y.=x-x0,y-y0,=(-x0,2-y0).=3,即x-x0,y-y0=(-3x0,6-3y0).A在圆上，-+12+()2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即为B点的轨迹方程.9.定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，那么过点A、C且都与O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是_.答案：去掉两个顶点的双曲线解析：由题设条件可得|PA|-|PC|=3，根据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，那么点P的轨迹是_.
6、答案：圆解析：如右图，延长F1P交F2Q于F1，那么|OP|=|F1F2|=|F1Q|+|F2Q|)=(|F1Q|+|F2Q|)=2a=a.P点轨迹为圆.三、简答题1113题每题10分，14题13分，共43分2=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQl，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解析：设抛物线上点P2pt2，2ptt0，直线OP的方程为：y=x.又Q-，2pt，F，0，直线QF的方程y=-2t(x-).它们的交点Mx，y，由方程组由得：y2=-2x(x-)，交点M的轨迹方程y2=-2x(x-).12.(+，其中、R，且-2=1，1求点C的轨迹方程；2设点
7、C的轨迹与双曲线=1a0,b0交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.1解析：设Cx，y，因为=+，那么x，y=1，0+0，-2-2=1,x+y=1.即点C的轨迹方程为x+y=1.2证明：由得：b2-a2x2+2a2x2-a2-a2b2=0.由题意,得b2-a20，设Mx1，y1，Nx2，y2,那么：x1+x2=,x1x2=-.因为以MN为直径的圆过原点，=0，即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+=0,即b2-a2-2a2b2=0,=2为定值.13.(湖北十一校大联考，22)A、B、D三点不在一条直线上，且A-2，0
8、，B2，0，|=2，=+,1求点E的轨迹方程；且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.解析：1设Ex，y，=+=2-.=2x+2，y-4,0=(2x,2y).又|=2,x2+y2=1(y0).2设椭圆方程为：=1，直线 l：y=k(x+2),由于直线l与圆E相切，=1.k=.直线l：y= (x+2).将y=(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,那么有3b2+a2x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.xM+xN=.x中=,|x中|=,5a2=6b2+2a2.a2=2b2.又c2=4,b2=4,a2=8,椭圆方程为=1.14.(广东珠海一模，18)两定点A-t,0和Bt，0，t0.S
9、为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.1求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；2当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？解析：1设Sx，y，SA的斜率k1=(x-t)，SB斜率k2=(xt),由题意，得(xt),经整理，得-y2=1(xt).点S的轨迹C为双曲线除去两顶点.2假设C上存在这样的两点Px1，y1)和Qx2，y2,那么PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，由整理得1-t2x2+2t2bx-t2b2-t2=0.其中1-t2=0，方程只有一个解，与假设不符.当1-t20时，0，=2bt22-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，所以t2b2+1， 又x1+x2=-，所以.代入y=-x+b，得.因为P、Q中点为在直线x-y-1=0上，所以有：-1=0，整理得t2=, 解，得-1b0,0t1，经检验，得：当t取0，1中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.
