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1、.1-3 微分公式(甲 )基本函数的微分公式nn1dx1= nxn 1，nN 。(2) dx1 x nN 。(1),ndxdxndc=0，其中 c 为常数。 (4)(sinx)/ =cosx(5)(cosx)/ = sinx(3)dx另一种表示：n /n 1( nx )/1x n1 1/(x )= nx=( )=0nc证明：(2)设 a 为 f(x)= n x 定义域中的任意点，f(x)()则 f / (a)= limfaxax a= limn xna = lim( n xa )( nnxnax axaxanx) n 1(nx) n2 n a . (n a ) n 1 =1=1 1 nn1n1
2、 1)( a)=( an(n a ) n 1nn(4)设 a 为任意实数， f(x)=sinxf(x)f(a)sinxsina2 sin xa cos x a22xa =xa=xaf(x)f(a)2sin x a cos xa计算 f /(a)=22)=cosa。limxa= lim (x axaxa(1)(3)(5)自证(乙 )导数的四则运算(1)f(x)与 g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。ddd且dx(f(x)+g(x)= dx(f(x)+ dx(g(x)成立。另一种表示： (f(x)+ g(x)/ = f / (x)+ g/ (x)证明：令()=()+ ()，设
3、a为 ()定义域中的任一点h x fxg xh xh/(a)= limh(x)h(a)= lim f ( x)g (x)f (a)g(a)xax axaxa= limf(x)f(a)g(x)g(a)f(x) f(a)g(x) g(a)(+)= lim()+ lim()x ax ax ax ax ax ax a=f/( )+/ ( )ag a精选可编辑.例：求 d( x5 3 x ) ？dxdx(f1(x)+ f2(x)+.+f n(x) =df 1 (x)df 2 ( x)df n (x)推论： ddxdxdx(2)设 f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。dcf xdf(x)cd
4、f xdf(x)且dx(c，特别1时，dx(dx。( )=dx=( )=(3)d( f (x)g( x)df ( x)dg (x) ，另一种表示： (f(x) g(x)/ = f / (x) g/ (x)dxdxdxdddd(4) dx(c1f1(x)+c2f2(x)+.+cnf n(x)= c1dx(f1(x)+c2dx(f2(x)+.+ cndx(f n(x)d例如： (1)dx (anxn+ an 1xn 1+.+ a1x+ a0)(2)(3x52x3+4 5 x )/ = ？(5)f(x)， g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。ddd且 dx(f(x)g(x)= d
5、x(f(x)g(x)+f(x)dx(g(x)另一种表示： (f(x)g(x)/ = f / (x)g(x)+f(x)g/ (x)证明：例如：试求 d ( x2x 3)(3x22x 1) ?dx下面我们要推导例2 的一般情形：(a) d( f 1( x) f2 ( x)f 3( x) = df 1 ( x)f ( x) 2 f 3( x)f1( x) df 2 ( x)f 3 ( x)f1 ( x) f2(x) df 3( x)dxdxdxdx精选可编辑.(b) d( f1 f 2fn )df1f2f nf 1 f 2df n(逐次轮流微分 )dxdxdx(c)如果 f1f 2fnf，则可得 d
6、 ( f ( x) nn( f ( x) n 1 df ( x)例如：试求 ( x23) 5 的导数。dxdx2x例題 1 证明 dxrrx r 1 ,r Q 。dx(6)若 f(x)，g(x)在 x=a 可微分，且 g(a)0 ，df ( x)f / (a) g( a) f ( a) g/ ( a)则 dx (g( x) )|x a( g(a) 2。因此可得： ( f (x) )/ f / ( x) g( x) f (x) g/ ( x)g(x)( g( x) 21/1若 f(x)=1，则 (g(x)=( g( x) 2例如：试求x21的导函数。2x1xg / ( x)1例如：求 (x2+
7、x+1)/ =？例如：设 r 为负有理数，证明dx rdxrx r 1 。结论：若设 r 为有理数，则 dxrrx r 1 。dx例題 2 求下列各函数的导函数：(1) (x2+2 x)(x2+3x+2) (2) (x2)3(x21) (3)(x2+ x+1)(4x3+x 4)(x+3)3(x+1)2(3)x3+2x+1(4)(x 1)3精选可编辑.Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x2)2(5x24x 3)(3)(2x+1)(4x3+ x4)(x+3)+( x2+ x+1)(12x2+1)(x+3)+ ( x2+ x+1)(4x3+x 4)3(3x2+2)(x+1)(x+5
8、)(4)(x3+2 x+1)2 (5)(x1)4例題 3 请利用 (sinx)/ =cosx， (cosx)/ =sinx 的结果证明：(tanx)/ =sec2x，(secx)/ =secxtanx(練習 1.) 试求下列的导函数：(1)x36x2+7x 11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+ x+1)5Ans： (1)3x212x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3 x)(3)(2x2+2)(3x2+ x+1)+( x+1) (4x)(3x2+ x+1)+ ( x+1)(2x2+2)(6x+1)(4)5(2x3+ x+1)4(6x2+1)(練習 2.)求下列各函数的导函数。x3+ x+13x11(1)f(x)=2x2+ x+3(2)f(x)=x2+3x+1(3)f(x)= 4x3+3x2+2x+1(4)f(x)=x3+2x+12x4+2x3+7 x24x+23x2+3Ans： (1)(2x2+x+3)2(2)(x2+3 x+1)21(12x2+6x+2)3x22(3) (4x3+3x2+2 x+1)2(4)(x3+2x+1)2(練習 3.)证明 d(cot x)csc2 x ， d(cscx)cscx cot xdx
