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1、第二章自回归移动平均模型些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由 模型Box和Jenkins创立的ARMA 就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，行建模和 并由此对时间序列的变化进 预测。第一节ARMA模型的基本原理ARMA模型由三种基本的模型构成：自回归模型(AR, Auto-regressive Model)，移动平 均模型(MA， Moving Average Model)以及自回归移动平均模型(ARMA，Auto-regressive Moving Average Model)。2.1.1自回归模型的基本原理1. AR模型的基本形式AR模型的一般形式如下：办乂1办
2、2办上%申；t其中，c为常数项，1, 2“ 模型的系数，；t为白噪声序列。我们称上述方程为p阶自回归模型，记为AR(P)。2. AR模型的平稳性此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。即若时间序列%是平稳的，即 E(*k Var (Yt2，Cov, y)=。为了描述的方便，对式(2.1 )的滞后项引入滞后算子。若yxj定义算子“ L”，r_k使得yt =Lxt二为4 L称为滞后算子。由此可知，L A=Xto对于式子(2.1),可利用滞后算子改写为：yt=c %2L2%plp%t移项整理，可得：(1-X- 2L2 - - pLp)yt 二 c ；tAR(P)的平稳性
3、条件为方程1 - 1L - qL2 -中卜。的解均位于单位圆外。3. AR模型的统计性质(1) AR模型的均值。假设AR(P)模型是平稳的，对AR(P)模型两边取期望可得：根据平稳序列的定义知，E(yJ = - I ,由于随即干扰项为白噪声序列，所以E(； J = O,因此上式可化简为：(1 - 1 -2-.-卜八 01 % -%-_p(2) AR模型的方差。直接计算AR(P)模型的方差较困难，这里引入Green函数。AR(P )模型可以改写成如下形式：设l-p为平稳AR(P)模型的反特征根，则P:J(L) =1 X- 2L2 -川一PLp【(1-)oi =1进一步，ytPk-ti = 11，
4、-iLimj=oj=Oimki订tGj：；t_jj =0因为，均在单位圆内，所 p其中，k为常数，GjA. k.j，P称为Green函数，11 1 i =1以Green函数是呈负指数下降的。对上式两边取方差，可得:C3O var(y) =、qvar(；)j=0由于随机干扰项为白噪声序列，所以var(； J=匚2。因为Green函数是呈负指数下降，-2所以G.：:，这说明平稳时间序列方差有界，且等于常数、Gj务2。j =0j=P(3) 自协方差函数。假设将原序列已经中心化，贝VE(yt)=0,则对AR( P)模型等号两边同时乘以y上(-k _1)，两边取期望得： tE(ytytjJ = 土卜少-
5、)jEWfytjJ . pE(yt_pytjJ Eg)因为当期的随机干扰项与过去的时间序列值无关，所以：E(； tyt上)=。因此，上式可以化为：G 二jr 2.其中秩表示k阶自协方差。2.1.2移动平均模型的基本原理1. MA模型的基本形式MA模型的一般形式如下：办=其二2 ； 2.乜2其中，U为常数项，RC2.Jp为模型的系数，；t为白噪声序列。我们称上述方程为q阶移动平均模型，记为MA(q)。2、MA模型的可逆性对于一个MA( q)模型：yt 一 U ；t 7 2 2 2.Tq ； tT将其写成滞后算子的形式：*比(1F2,qLq)；若方程1 . IL2TqLq=0的根全部落在单位圆外，
6、则称MA模型是可逆的。可逆性可以保证MA模型可以改写成：(四 M 即MA模型可以转化为AR模型，同时可以保证参数估计的唯一性。3、MA模型的数字特征(1) 均值当q ：:时，对于一般的MA (q)模型:A-t J A2 -t _2 L 入百寸 _q两边取期望，可得:E (yJ = E (u “；2 I ； t,* LVq ；饵二 U即一般的MA (q)模型的期望值即为模型中的常数项。(2) 方差对MA(q)模型，两边取方差:Var (yt)=Var (u t:勺口：*2 t2 .为戈卫)=(1 W(3) 协方差函数rk 二Elyy 上)=E (u .上 T tJ 二 t 2 .F ； t)(u
7、y T 2 上 V舄化简可得:匚 2 (1 V2川v：),k =0k 二FT 1 川启山),0 你0,k q2.1.3自回归移动平均模型的基本原理1、ARMA模型的基本形式ARMA模型的一般形式如下：Vt 二 C 2 丫 2 ； t 二 1 ； 2 二 2 2 一二 p ； tT显然ARMA (p,q)模型可看成是AR (p)模型和MA (q)模型相结合的混合形式。2、ARMA模型的平稳性和可逆性对于一个ARMA ( p, q)模型，Vt=C1丫 22 人；t 二 1 ； t J 二 2 2 f p将其写为滞后算子的形式：(1 一上一 L -1 一 L ) V - c (1 JL ALL L
8、)十2 p p t2 jq q t两边同时除以(1 - L - ； L2-L-Lp)yt 一 (l) ； t 其中：叫)二由此可以看出，ARMA模型的平稳性完全取决于AR(p)模型的参数，与MA (q)模型的参数无 关。类似地，ARMA模型的可逆性完全取决于MA( q)模型的参数，与AR ( p)模型的参数 无关。3、ARMA模型的数字特征(1) 期望对于一个一般的ARMA(p,q)模型两边同时取期望，化简得：E (yJ =(2) 自协方差函数岛E (yt y 十)=E(艺 G J)(无 Gjflt*Jq时，自相关函数为 0,也就是说MA (q)模型的自相关函数在 根据ARMA模型的自协方差函
9、数，不难得到ARMA模型的自相关函数：q步以后是QO./ 为 GjGi*4 =二k :.、Gi2i =0由此可以看出，ARMA模型的自相关函数不具有截尾性。事实上，ARMA模型若满足可逆性，其形式相当于一个无穷阶的AR模型，因此自相关函数与AR模型一样具有拖尾性。2.2.1.2偏自相关函数(PACF1、偏自相关函数的定义自相关函数卜；不能纯粹地表示霜与之间的相关性，两者的相关性还会受到：辽-；加护-的间接影响，为了单纯地表示.与：之间的相关性，这里引入偏自相关函数。偏自相关函数表示在固定沁I的情况下豁与聘出之间的相关性。下面介绍偏自相关函数Lhj的计算方法。设序列yt可由下回归方程估计:Vt=
10、时 Vt i* 人纨2 . IH . kVt上 1.Vt 士“ a根据回归方程的性质，式中估计系数翠慝即为偏自相关函数。为了估计回归系数，采用OLS方法，即L = E( yt - klytl - k2 yt _2LkL t k_ kkyt Jk)达到取小。I对L关于各回归系数求偏导，可得到以下方程组:,2HIkk 讥:2 = klil : %k2i0H 1 kkik2kp后等于0,即AR(p)模型的偏自相关函数具有截尾性。事实上，AR模型偏相关函数的截尾性也可直接从该模型的表达式看出。AR( p)模型实质上假设序列至多只与滞后p阶的值相关，因此偏自相关函数至多在p阶处非0。3、MA (q)和A
11、RMA ( p, q)的偏自相关函数由于MA (q )和ARMA ( p, q)相当于无穷阶的AR模型，因此这两个模型的偏自相 关函数均不具有截尾性，而是拖尾性。221.3 ARMA模型自相关系数与偏自相关系数的估计与检验根据以上分析，不同ARMA模型自相关系数与偏自相关系数的表现存在明显的差异。表2.1给出了三类模型ACF与PACF的特征。表2.1 ARMA类模型ACF与PACF的特征模型自相关系数偏自相关函数AR（P）拖尾P阶截尾MA ( q)q阶截尾拖尾ARMA ( p，q)拖尾拖尾因此，我们可以通过观察偏自相关函数来识别并确定AR模型的滞后阶数，通过自相关函数来识别并确定MA模型的滞后
12、阶数条那么对于给定的样本数据，如何估计样本ACF与PACF并从统计角度检验两者是否为0呢？下面分别介绍ACF与PACF的估计与检验。1、样本ACF与PACF的估计与实现对于给定样本，只需估计样本的自协方差与方差，将两者相除即可得到样本ACF具体而言，样本自协方差表示为：1 T_k%二百侨一0如+厂刃j=i其中表示样本均值。那么 SACF=.。对于PACF主要是利用Yule- Wolker方程求解。 当滞后阶数较大时，Y-W方程直接计算较 难，目前多采用递推算法来求解。2、样本ACF与PACF的显著性检验常用的检验方法主要包括两类：正态检验法和Portmanteau检验法。若序列满足独立性，则由统计渐进分布的有关定理可知，当样本个数充分大时，ACF和PACF均满足均值为0，方差1/T的正态分布，即因此若匾I：;匚，1轨： 1.筠匚
