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1、压轴小题突破练1.与函数、不等式有关的压轴小题1.(2017届枣庄期末)定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且当x0时，f(x)xf(x)恒成立，则函数g(x)xf(x)lg的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析因为当x0时，xf(x)f(x)xf(x)0，所以xf(x)在(0，)上单调递增，又函数f(x)为奇函数，所以函数xf(x)为偶函数，结合f(3)0，作出函数yxf(x)与ylg的图象，如图所示：由图象知，函数g(x)xf(x)lg的零点有3个，故选C.2.设函数f(x)在R上存在导数f(x)，xR，有f(x)f(x)x2，且在(0，)上f(x)x，若f(4
2、m)f(m)84m，则实数m的取值范围为()A.2，2 B.2，)C.0，) D.(，22，)答案B解析令g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，)上，g(x)f(x)x0，且g(0)0，则函数g(x)是R上的单调递减函数，故f(4m)f(m)g(4m)(4m)2g(m)m2g(4m)g(m)84m84m，据此可得g(4m)g(m)，4mm，m2.3.(2017马鞍山三模)已知函数f(x)若f(x)f(x)0有四个不同的根，则m的取值范围是()A.(0，2e) B.(0，e)C.(0，1) D.答案D解析若m0，那么f(x)f(x)只会有2个交点，所以m0
3、，若f(x)f(x)有四个实根，根据对称性可知当x0时，ln x有两个实根，即mxln x有两个实根，设yxln x，yln x1，令ln x10，解得x，当x时， y0，函数单调递减，当x时，函数单调递增，所以当x时，yxln x有最小值，即mm，所以0m，故选D.4.(2017福建省福州第一中学质检)已知函数f(x)，x0，1，函数g(x)asinx2a2(a0)，若存在x1，x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x0，1时，f(x)的值域是0，1，g(x)asin x2a2(a0)的值域是，因为存在x1，x20，1使得f(x1)
4、g(x2)成立，所以0，1，若0，1，则22a1或2a0，即a或a，所以a的取值范围是，故选A.5.(2017届河南天一大联考)设函数f(x)若关于x的方程f(x)loga(x1)0(a0，且a1)在区间0，5内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是()A.(1，) B.(，)C.(，) D.(，)答案C解析要使方程f(x)loga(x1)0(a0且a1)在区间0，5内恰有5个不同的根，只需yf(x)与yloga(x1)的图象在区间0，5内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间0，5内恰有5个不同的交点，只需得a，故选C.6.已知函数f(x)(a0，且a1)在R上
5、单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题设可得解得a.结合图象可知方程在(，0)和(0，)上分别只有一个实数根.当3a2，即a时，则x2(4a3)x3a2x只有一个解，则(4a2)24(3a2)0，解得a或a1(舍去)；当13a2，即a时，符合题设条件.综上，所求实数a的取值范围是a或a.故选C.7.(2017四川成都一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)在上的所有实数解之和为()A.7 B.6 C.3 D.1答案A解析因为函数是偶函数，所以
6、f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：两个函数在区间上有7个交点，中间点是x1，其余6个交点关于x1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为2，所以这7个交点的横坐标之和为3(2)17，故选A.8.(2017湖南长沙一中月考)已知实数f(x)若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则t的取值范围为()A.(，2 B.1，)C.2，1 D.(，21，)答案A解析设mf(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m1时，mf(x)有两个根，当m1时，mf(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则等价为m2mt0有两个
7、不同的实数根m1，m2，且m11，m21，当m1时，t2，此时由m2m20，解得m1或m2，f(x)1有两个根，f(x)2有一个根，满足条件；当m1时，设h(m)m2mt，则需h(1)0即可，即11t0，解得t2.综上实数t的取值范围为t2，故选A.9.若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3f 2(x)2af(x)b0的不同实根的个数是()A.3 B.4 C.5 D.6答案A解析函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，说明方程f(x)3x22axb0的两根为x1，x2，方程3f 2(x)2af(x)b0的解为f(x)x1或f(x)x2，若x
8、1x2，即x1是极大值点，x2是极小值点，由于f(x1)x1，x1是极大值，f(x)x1有两解，x1x2，f(x)x2f(x1)只有一解，此时只有3解，若x1x2，即x1是极小值点，x2是极大值点，由于f(x1)x1，x1是极小值，f(x)x1有2解，x1x2，f(x)x20)，设h(x)x22ex，令f1(x)x22ex，f2(x)，f2(x)，发现函数f1(x)，f2(x)在(0，e)上都单调递增，在(e，)上都单调递减，函数h(x)x22ex在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，当xe时，h(x)maxe2，函数有零点需满足mh(x)max，即me2.13.(2017届柳州模拟)
9、设定义域为R的函数f(x)若关于x的方程f 2(x)(2m1)f(x)m20有7个不同的实数解，则m_.答案2解析令tf(x)，作出函数f(x)的图象如图所示：由图可知方程t2(2m1)tm20有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42(2m1)4m20m2或m6，又当m2时，另一根为1，满足题意；当m6时，另一根为9，不满足题意，故m2.14.(2017山西省实验中学模拟)已知函数f(x)ex2x3(e为自然对数的底数)，g(x)x2axa3.若存在实数x1， x2，使得f(x1)g(x2)0，且1，则实数a的取值范围是_.答案解析函数f(x)ex2x3的导数为f(x)ex210，f(x)在R上单调递增，由f(2)0，可得f(x1)0的解为x12，存在实数x1，x2，使得f(x1)g(x2)0，且|x1x2|1，即为g(x2)0且|2x2|1，即x2axa30在1，3上有解，即有a(x1)2在1，3上有解，令tx1(2t4)，由t2在2，4上单调递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是2，3.
