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1、函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y=f（x)的切线方程的三种类型及其措施()已知切点P(x,f(x0),求yf(x)在点P处的切线方程:切线方程为 yf(x0)=f(x0)(xx).(2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点为P(x0,y），通过方程kf(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点（非切点)A(s,t)，求y=f(x)的切线方程：设切点为(x0，y0)，运用导数将切线方程表达为y()=f（x0)(x0）,再将A（s,)代入求出.2.两个函数图像的公切线函数y=(x)与函数=g（x）存在公切线，若切点为同一点P(x0，y0),则有 若切点分别
2、为(x1,f（x1),(2,g（x2),则有 题型分类解析题型一 已知切线通过的点求切线方程例1求过点与已知曲线相切的切线方程.解:点不在曲线上.设切点的坐标,则,函数的导数为，切线的斜率为,，点在切线上，,又，两者联立可得相应的斜率为或切线方程为或.例.设函数，曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处的切线方程为_解析:由切线过可得：，因此，另一方面，且，因此,从而切线方程为：例3. 已知直线与曲线切于点，则的值为_解析：代入可得：,，因此有,解得题型二 已知切线方程（或斜率）,求切点坐标（或方程、参数)例4已知函数,则：()在曲线上与否存在一点,在该点处的切线与直线平行(）在曲线上与否存在一点
3、，在该点处的切线与直线垂直解：设切点坐标为 由切线与平行可得: 切线方程为：（2）设切点坐标 ，直线的斜率为 而不在定义域中,舍去不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直例5.函数上一点处的切线方程为，求的值思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解,在直线上,即,得到的一种等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一种等量关系,从而求出解:在上，又由于处的切线斜率为 , 例6.设函数,若曲线的斜率最小的切线与直线平行,求的值思路:切线斜率最小值即为导函数的最小值,已知直线的斜率为,进而可得导函数的最小值为,便可求出的值解： 直线的斜率为,依题意可得： 题型三 公切线问题例7.若存
4、在过点(1,0）的直线与曲线和都相切,则等于( ） A或 .或 C或 D.或思路:本题两条曲线上的切点均不懂得，且曲线具有参数，因此考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在运用切线与曲线求出的值.设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，由于在切线上,因此解得：或，即切点坐标为或.当切点时,由与相切可得,同理，切点为解得答案：A小炼有话说：（1)波及到多种函数公切线的问题时,这条切线是链接多种函数的桥梁.因此可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其她函数的关系(2)在运用切线与求的过程中,由于曲线为抛物线,因此并没有运用导数的手段解决,而是使用解析几何的措施，切线即联立
5、方程后的来求解,减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中波及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行解决,（特别是抛物线)例8若曲线与曲线存在公切线，则的最值状况为( ）A最大值为 B最大值为 最小值为 D.最小值为解析:设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，因此有，因此,即，设，则.可知在单调递增,在单调递减，因此 题型四 切线方程的应用例9.已知直线与曲线有公共点,则的最大值为 解：根据题意画出右图,由图可知，当直线和曲线相切时，获得最大值.设切点坐标为，则, ，切线方程为,原点
6、在切线上，, 斜率的最大值为.例0.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A. B. 思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先运用求出切线方程因此切线方程为:即，与两坐标轴的交点坐标为 例1一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范畴是( ) A. B. C. D. 思路:倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来,对于曲线上任意一点，斜率的范畴即为导函数的值域：,因此倾斜角的范畴是.答案:B例已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范畴思路:由于并不懂得条切线中与否存在觉得切点的切线，因此考虑先设切点，切线斜率为，则满足 ，因此切线方程为，
7、即，代入化简可得:，因此若存在3条切线，则等价于方程有三个解,即与有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标,切线斜率为，则有: 切线方程为:由于切线过，因此将代入直线方程可得： 因此问题等价于方程，令即直线与有三个不同交点令解得 因此在单调递减,在单调递增 因此若有三个交点,则因此当时,过点存在3条直线与曲线相切例13. 已知曲线C:x=y，为曲线上横坐标为的点，过P作斜率为(k0)的直线交C于另一点Q,交x轴于M，过点且与垂直的直线与C交于另一点N,问与否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出的值，若不存在，阐明理由.思路:本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点,则可
8、求出，从而与抛物线方程联立可解得,以及点坐标，从而可写出的方程，再与抛物线联立得到点坐标如果从坐标入手得到方程,再根据相切求，措施可以但计算量较大.此时可以着眼于为切点，考虑抛物线自身也可视为函数，从而可觉得入手点先求出切线,再运用切线过代入点坐标求,计算量会相对小些解:由在抛物线上,且的横坐标为1可解得 设化简可得： 消去： 设直线即 联立方程: 由可得： 切线的斜率 代入得:, 小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一种函数（例如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分),则解决切线问题时可以考虑使用导数的措施,在计算量上有时要比联立方程计算简便()本题在求点坐标时,并没有对方程进行因
9、式分解,而是运用韦达定理,已知的横坐标求出的横坐标.这种运用韦达定理求点坐标的措施在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14设函数f(x)=x3+2ax2+a，(x)=x23x2，其中R，a、为常数，已知曲线f(x)与y=（)在点(2，0)处有相似的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线的方程；（)若方程f（）+g(x)=mx有三个互不相似的实根0、x1、x2，其中xx2,且对任意的x1,2，f(x)g(x)0，即.又对任意的xx1,x2,f(x)+(x）m（-1)恒成立.特别地,取1时，（1)+g(x)m1m成立,得0,故0,则f(x）()-xx(xx1）(x-x2）0,又f(x)
10、（x）mx1=0，因此函数(x)+(x)x在x1，2的最大值为.于是当-m0时，对任意的x1，x2,f(x)g(x)m(x1)恒成立综上,m的取值范畴是.例.如图3-1，有一正方形钢板B缺损一角(图中的阴影部分），边沿线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD的中点为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部提成为一种直角梯形若正方形的边长为2米,问如何画切割线F,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.解法一:以O为原点,直线AD为轴，建立如图所示的直角坐标系,依题意，可设抛物线弧C的方程为=x(0x2)，点的坐标为(2,1),22，a,故边沿线O的方程为=x2（0x2）
11、，要使梯形AEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧C相切，设切点坐标为P（0t2),y=x，直线E的方程可表达为-t（x)，即y=xt2.由此可求得E,|AF|=t2，|B|=t+t1.设梯形ABF的面积为S(t），则(t)(t1)2，当=时，S(t)=，故（t)的最大值为25，此时|A0.75，|B|1.5.答：当AF05 m，BE=15 m时,可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.m2.解法二：以A为原点,直线A为轴,建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y=x21(0x)点C的坐标为(,2），22+1=2，a=,故边沿线OC的方程为y=x21(2)要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧O相切,设切点坐标为P(0t2)，=，直线EF的方程可表达为y-2-1=t(t),即ytxt21,由此可求得E，AF|=1t2,|E|2+,设梯形F的面积为S(t），则S(t)=|B|（|F|+|)1-t2=-t2t+2（)2当t1时，S()=,故S(t)的最大值为2.此时|F|.5,BE1.75答:当AF0.75 ,BE.7 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为2.5 m2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，一方面应当面积建立有关动点P的函数,再选择有关的措施求解所得函数的最值,复杂函数可以用求导进行研究.
