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1、“并”与“不并”的疑与析(河南省临颍县南街村高中赵先举462600)在一些含有参数或者牵涉到一些需要分类或分区间讨论的问题中,我们往往分不清楚最 后结果是否需要取并集.其实，很多结果是不能取并集的，而有些结果却要取并集.下面结合 具体例子说明哪些情况下需要取并集,而哪些情况下不需要取并集.一、分段函数的单调区间不能随意取并集有些函数的单调区间需要分类或者是分段来求，求出的结果一般情况不能取并集，尤其 是一些分段函数或者是定义域有间断的函数.例1.求函数f (x) = -的单调区间.x 一 6错解:根据反比例函数的性质,易知函数f (x) = _二在区间(-8, 6)和(6, +8)分别递 x
2、一 6增.于是单调递增区间是(-8,6) D (6, +8)或写成集合的形式xlx。0.正解分析:这是一个图像有间断的函数,应当写成单调递增区间为(-8,6)和(6, +8)，不 能写成在区间(一8,6)口 (6+8上递增.因为取x广2 , x2 = 8显然气 f (x )与递增矛盾.122122 - x(x 1)例2.求函数f (x) = 3)错解：这是一个分段函数，由于不同区间的解析式不同，求单调区间也要分开来求.当x 3时，f (x) = x- 2显然单调递增.因此, 函数f (x)的单调递增区间为(1,2) D (3, +8)，递减区间是(-8,1) u (2,3).正解分析:这里的递
3、增区间和递减区间也不能取并集.例如把递增区间取并集，则为 ，一、 小 、37(1.2) u (3, +8),那么在此区间中分别取气=和x2 =方,则气v x2 ,但是73f (气)=4 , f (x2) = 2，显然f (气) f (x不符合单调递增的含义.所以，应写成递增区间 为(1,2)和(3, +8),递减区间为(-8,1 )和(2,3).评注:上述函数一个是图像有间断的函数，一个是分段函数，求单调区间一般都要分别写出 不同的单调区间,而不能把求出的单调性相同的区间直接取并集.这也是最后结果最容易出 现的错误，需要时刻警惕.二、对含参数不等式的参数讨论得出的解集一般也不取并集在解含参数的
4、不等式中，也通常要对参数进行分类讨论而得出不同的解集.一般对参数讨论得出的解集也不取并集.例 3.解关于x 的不等式log2(4 ax)-log4(ax -1) 0且a。1).错解:这是含有参数字母a的不等式，一般要根据a的取值进行讨论.令t = ax，则原不等|4-1 0 式可化为：lo&(4-t) T-1) 0，即E 4 .又由 log4(t 4)2 log4(t 1) n 12 - 12t + 2 (即 2 t 10 .综合知，2 t 4，即2 ax 1 时，有log 2 x 2log 2,当 0 a 1 时，2log 2 x 1时，原不等式的解 集为loga 2,2loga 2)；当0
5、 a 0的解集 为a，B = x 11 x 3, A B。小，求实数a的取值范围。错解：由f(x)为二次函数知a丰0 令f (x)=0解得其两根为气=-2 +七,x2 = - +寸2 + 土由此可知气 0(i)当 a 0 时，A = x I x x A c B，的充要条件是x2 3，即 +2 + 土 |(ii)当 a 0 时，A = x I 气 x 1，即a +寸2 + 土 1解得a -2.正解分析:错解中主要是没有把最终结果进行合并.这是对待求字母a进行的分类讨论，要取 并集，故最后应补充:综上可知，使AcB =4成立的a的取值范围为(-8,-2)项：,+8)评注：本题考查集合的运算关系及分类讨论的基本思想.对于a进行讨论而得到的不同解 集是不同情况下的不等式解集不能取并集，但是本题与前面例题的区别是：题中分类讨论的 字母a既是参数也是待求的量，所以，最终结果要取所有情况下a的取值集合的并集.总之，分类讨论是高中数学的基本数学思想，在分类讨论后是否取并集好要慎重考虑，而 不能盲目取并集而导致错误.
