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1、高 等 数 学一、二、函数、极限、连续1（1）预备知识：实数与平面直角坐标系不等式及基本性质，运算性质区间及集合命题、术语、充分、必要条件（2）函数概念、求值、定义域1)判断以下各组函数是否相同A)B)C)D)E)F)G) H)2)求函数3)若 4)已知(3)函数的常用特性：奇偶性定义及例周期性单调性有界性（4）函数分类，简单函数的图形（5）反函数及复合函数2（1）数列及极限的概念符号： / （2）无穷小 及无穷大 概念，两者之间的关系3.求极限运算（1）求极限运算法则简单函数求极限：例：例：，未定式极限问题，“”“”“”“”“00”“”“”七种类型例：， 例： 例：例：例：已知 求a值（2）
2、重要极限，利用重要极限计算极限例：，例：例：，例：，例：MPA见p15，例8例：若存在，且，求（3）无穷小量的比较，等价无穷小量代换定理.计算极限等价无穷小代换常用公式：当时，例：当时以下函数（无穷小量）与作比较：例：,例：例：（4）分段函数在分段点处的极限（用左、右极限考虑）例：例：问是否存在？例：求例：若存在，求（5）使用罗必达法则计算未定式极限（在导数应用之中讲述）4.连续函数概念（1）自变量的增量函数的增量= =（2）函数在一点处和在区间上连续的概念例: 在处是否连续？例: 在连续求R值例：设（3）间断点及其分类。在点处极限存在极限不存在连续可去间断跳跃间断无穷间断振荡间断不间断第一类
3、间断第二类间断例：（4）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上的每一点处都连续.初等函数的的连续区间即它的定义域区间（5）闭区间上连续函数的性质：有界最值存在、介值定理及根的存在定理。（简述）三、导数概念、符号1.导数与导函数符号、函数的可导性问题导数：在点处：左导数右导数 存在 充要 存在 存在定理：导函数：在点处：左导函数：右导函数区别与关系2.导数几何意义表示曲线在其上点处的切线的斜率切线方程：法线方程：3.关系在点处可导连续极限存在有定义4.例例：若： 求例：如果求求例：已知：则（ ）A）-3 B）3 D）-6 C）-12例：在可导，问 =？时，例： 则（ ）A）0 B）1 D）2 C
4、）-2例： 例：5.求导基本公式和导数运算法则.（c为常数）（实数） （常数a0） ， ， ，若 可导（1）（2）（3）（为常数） 6.微分概念计算和应用简介定义：若可写为形式且是时比高阶的无穷小量为与无关的量则称为在点处的微分，记为或此时称在点处可微计算公式微分基本公式和法则微分计算之例：例：求例 决定 求（为常数）例： 求例：求 = ， 四、求导、求微分计算1. 简单函数求导 例：求下列函数的导数。例：例：例：例：2.复合函数救求导法则，若 在点可导，在相应点亦可导则复合函数可导 或且有公式 例 例：例：例：例：3.隐函数求导例：由方程确定 求例：由方程 确定求例 由 决定求例：例：例：
5、4.对数求导法：（适用的两类函数）求导方法5.高阶导数符号及计算二阶导函数： ， ，二阶导数：, n阶导函数：,n阶导数：,例： ， 例：= = 例：, 求例： 求例：求 例：求例： 例：已知 则= 例：6.关于符号函数求导问题例： 例：若 二阶可导，求以下函数的二阶导数（1）（2）（3）（4）五、导数应用1.关于切线的斜率，切、法线方程问题2.单调性判定：求所给函数的单调区间利用单调性证明不等式3.极值、最值及最值应用问题（1）极值、最值概念 非最值 分别为最小值，最大值最值点取在区间内 最值点取在区间端点处（2）充分性定理定理：若在区间区上有则单调增加（曲线上升）记 则单调减少（曲线下降）
6、记 则（常数） 定理：（极值第I充分性）设在点邻域内可导且（即为的一个驻点）当由左往右通过点时若导数的符号改变（1）先正后负，则为极大值点，为极大值（2）先负后正，则为极小值点，为极小值若导数不改变符号，则不是极值定理：（极值第充分性）设：在点二阶可导若 （即为驻点） （3）例题例：求单调区间及极值 求单调区间及极值例：求极值例：在 取得极小值，则 例 在中求极值例：若 对于所有 有 且是的驻点, 问 是否取得极值？极大还是极小？例：例：例：当 时，证明不等式例：当 时，求证不等式（4）最值问题. 例：例：长的铁片，做成“ ”形水槽问槽高为多少时，通过的水流量最大例：工厂从料场运料、运输路线如
7、图铁路100公里公路问在铁路线AB的何处D斜修公路到C运料路线为使得总运费为最低已知 铁路每公里运费与公路每公里运费之比为3：5例 用铁皮做成上下有底、半径为R、高为h的圆柱形桶。要求桶容积为定值 ，问R与h是何关系时，用料最省。例：的铁丝切为两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形和圆形面积之和最小，问两段铁丝长各为多少？例：简单经济问题在导数中的应用 （Q为产量）MPAcc: 边际概念 边际成本是成本函数C（Q）的导数，即P240 边际收益是收益函数R（Q）的导数，即弹性概念：的弹性为 例：设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为（1） 求该商品的收益函数和
8、边际收益函数。（2） 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格。例：假设某产品的总成本函数为边际成本；（2）边际收益；（3）边际利润；（4）收益的价格弹性。反映随的变化变化幅度的大小，即 对变化反应的强烈程度（灵敏度）用需求弹性分析总收益的变化4.曲线弧的凹凸性及拐点5.罗必达法则：计算未定式极限定理：设函数例：例：例：例：例：例：例：六、 不定积分1、 原函数及不定积分概念定义：在区间上若对存在函数，使 或则称为在上的一个原函数定义：若是在区间上的一个原函数则在上的全部原函数称为的不定积分 记为一个定理概括之：若在区间上（1）（2）是的一个原函数（3）=任一条成立，则其余两条必成立。2、
9、不定积分性质的基本公式 （为常数），3.不定积分计算（积分法）（1）简单函数的不定积分例：计算：,（2）不定积分换元法（I）及湊微分方法定理：设 是的原函数，又u=可微则是的原函数即有换元公式：意义 定理 比较 说明：即不定积分符号中“”恰是微分符号.这是不定积分计算时可用凑微分方法的根据。算微分： 凑微分： () 例：换元计算，例：换元成凑微分计算，例：，例：，例：，例：，例：，例： 设为常数，则例： 例：计算下列不定积分。1) 2)例：计算下列不定积分。1)2)3)4) (3)概念计算题例：的一个原函数为，则= 例：设是的一个原函数，则计算：,例：（填空题）设例：（填空题）（4）不定积分换元法（）对于若令：第（I）种换元若令：第（）种换元三角代换：被积函数中有 则作代换 令 令 令例：，（5）分部积分公式：分部积分常见类型及u、dv的选择：的多项式（或单项） 为常数1） 可设 2） 可设 3） 可设 4） 可设 5） 怎样选择皆可6）其它例：，例： 例：若的一个原函数是 可设 例：例：七、八、定积分及应用1.定积分概念：定义：若函数 定义在上,如果和式的极限： 存在则称此极限为函数在上定积分记作 即 此时称在上可积积分变量被积函数被积分式积分下限积分上限定积分存在定理若在连续则在可积定积分与不定积分是不相同的概
