《毕业论文差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式 安成华 青海师范大学数学系09C班 摘要：学习了插值多项式的存在性与唯一性，通过插值多项式求法并建立建立了一般节点情形下推广到差商，推导出差商的性质与差商的概念，在此基础上，利用差商构造函数插值。通过节点推出差分的性质与概念，讨论了一般多重差商问题与多重差分问题，并计算出差商与差分的关系，而同时利用差商与差分推导出牛顿插值多项式公式与拉格朗日插值多项式公式、在实际当中应用牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式来解决一些问题，在计算方法中带来方便、快速简捷。关键词：差商、差分、牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式Abstract: Study t
2、he existence and uniqueness of the interpolation polynomial,By polynomial interpolation method and the establishment of the general node case extended to the difference quotient, the concept of the nature of the difference quotient derivation travel,On this basis, the difference quotient constructor
3、 interpolation. Node launched the nature and concept of the differential,General poor multiple problems with multiple differential, and calculate the relationship between the travel and the difference,While at the same time take advantage of the difference quotient differential derivation of the New
4、ton interpolation polynomial formula with Lagrange interpolation polynomial formula,In the actual application of Newton polynomial interpolation Lagrange interpolation polynomial to solve some of the problems.Calculated convenient, fast and easyKeywords: Difference quotient. Difference. Newton inter
5、polation polynomial. Lagrange Interpolation polynomial1、 差商及其性质1.1 差商的定义： 定义1.1 称=为函数关于点的零点差商，称=为函数关于的一阶差商。 由定义可以看出，一阶差商差商实际上函数值的增量与自变量之比；函数在区间上的平均变化率，而具有对称性，即 定义1.2 称为函数关于点的二阶差商，二阶差商与一阶差商相同，与点的排列顺序无关，而这种性质称为查收的对称性，即 定义1.3 用阶差商的差商来定义阶差商 同样阶差商具有对称性。1.2 差商的递推定义定义1.1 设有两两互异的节点，对函数，称 为在节点处的一阶差商，称为在节点处的二
6、阶差商。一般地，在个两两互异的节点称为在节点处的阶差商，差商也称为均差。1.3 差商的性质 性质3.1 若是的任一置换，则有 性质3.2 差商可表示为节点函数值的线性组合，即，其 性质3.3 满足的次Newton插值多项式可表示为 性质3.4 若，则必存在一点使 性质3.5 若在的领域内具有直到阶的连续导数，节点两两互异，则有证明：（数学归纳法）当时 显然成立假设等式成立，即则 （其中指对第一位置求导）得到有故等式成立，得证 性质3.6 若在的领域内具有直到阶的连续导数，节点两两互异，则有其中.2. 差分及其性质 2 差分的定义 设已知函数在等距点上的值 是称为步长的常数。定义2.1 称函数在
7、每个区间上的增量为函数在点的一阶差分，记为。定义2.2 一阶差分称为二阶差分，记为，即=。定义2.3 用阶差分来定义阶差分。2.4 差分与函数值的关系（1） .（2）（3）2.5 从差分与差商的关系（1）（2）（3）2.6 差分与导数的关系 由于和，从而有 由上式可看出，如果是一个次多项式，那么它的阶差分为常数，因此，如果一个列表函数的阶差分已接近常数，那么用一个次多项式去逼近它是合理的。2.7利用差分的递推定义，差分的计算列出如下差分表： 3. 牛顿插值多项式 . . 其个节点处的函数值是；如果给出的的是的解析式，则在上述节点处取值，要求建立一个次数不超过的多项式，使。而只要在个已知节点以外
8、再给一个节点，此时将节点也看作一个节点，推出逼近原函数的牛顿插值多项式为：（1） 与原函数之间的关系是 式中函数的个阶差商，例如 函数在点和处的二阶差商；而和分别为点和处的一阶差分。称为余项。造成余项的原因是用差商代替了微商，通过余项的计算得原函数与逼近函数之间的误差，其中余项的大小与插值节点的取法有关，取与距离最近的几个节点作为插值区间会使余项最小，对实际问题追求高阶差分（或差商）并不可取。大多数给出的函数表，或是全区间是等距的，或者全区间不等距而子区间是等距的，而根据插值区间得：设给定的节点是由小到大排序，即，并有等距步长。如果靠近处插值（前插），按照前述使余项为最小的思想。则选择邻近的节
9、点作为插值点，为了简单，作变换，参量为得牛顿前插公式为： （2）如果计算插值区间终点附近的函数值，可将插值点次序由大到小排列，即，并令，则，则由式(1)得出牛顿后插公式： （3）3.2 牛顿插值法的应用 例1 闸阀的局部阻力系数和闸阀的关闭度有关（为管内径，为开启高度），其的函数表如下： 如果将闸阀控制在时，求其局部阻力系数的值. 解：该函数表示等距节点排序，故应用牛顿前插公式，选出附近的三个节点进行二次插值，列于下表，并将其一阶和二阶差分经算出列于该表的右侧各列： 若按三次插值，则应挑选4个节点，即再添一个的节点，此时可在表上添一行一列，其 这样，有三次插值所得的值为 由此可以看出，如需要再
10、取比较高次的插值时，只需再添一项对应的节点及其计算，而前面的计算仍保持有效。这是牛顿插值的优点。4. 拉格朗日插值多项式 4.1 线性插值 已知函数在区间两端点的函数值最简单的方法就是用连接两端点与的直线近似表示函数，直线斜率： 直线方程： 由此看出，线性插值多项式是两个关于的的线性函数的线性组合称为线性插值基函数，其系数分别是函数与插值基函数，在节点处的函数值： 4.1 二次插值 如果在区间中已知三节点的函数值，即已知与我们就可以用一条抛物线近似逼近函数方法是：取三个基函数满足：它们都是二次函数它们满足下表的条件： 得到 二次插值多项式为： 4.3 次插值 如果在区间中有个节点的函数值已知，
11、可利用这个节点构造插值函数取基函数， 得到： 称为拉格朗日插值多项式。线性插值与二次插值是时的结果4.4 拉格朗日插值多项式的应用例1 设多项式，任意给定个整数，且，证明：存在，使得. 【分析】有题目可知，一个次多项式完全可以用给定的个数确定. 证明：根据朗格朗日公式 假设题目中结论不成立，即对每个，有由的首项系数为1，得：矛盾. 故必存在一个，使得. 【小结】我们经常用“算两次”的数学思想将拉格朗日插值公式确定的多项式与原多项式比较系数，从而得到需要的结论例2 已知函数满足：（1） 均大于0；（2） 对于任意的，均为整数；（3） 是判断，对于每个整数是否为整数？ 【分析】解决这类多项式问题，
12、基本思想是利用待定系数法把系数逐个求出，从而解决问题，但条件( 2) 的五个整数已经足够确定四次多项式了 解 由拉格朗日插值公式得： 由条件( 2) 知且任意n个连续的整数之积都可被n!整除，故对于每个整数， 必为整数 【小结】由五个整数就能确定这个多项式函数了，还能判定系数也是整数，这样，只要是整数， 就一定是整数至于条件( 1) 、( 3) 不用无妨参考文献：1聂铁军数值计算方法M西安：西北工业大学出版社，1990年2 沈文选，张矗，冷岗松著奥林匹克学中的代问题M 长沙：湖南师范大学出版社，2009年3白玉山.计算方法.辽宁:辽宁出版社，1984年.4陈桂秀，马咸礼，冶成福.计算方法.西宁：青海人民出版社，2010年.-
