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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等对称以后关系现。三线合一试试看0延长缩短可试验。延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中
2、线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80
3、的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所
4、考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线
5、上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图ABC,AB=5AC=3则中线AD的取值范围是解：延长AD至E使A已2AR连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD4例 2、如图，/XABCt, E、F 分别在 AR AC上，DEL DF,AD是中点，域化较BE+CFW EF的大小.B D解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG= 2EF,连显然BG= FC,在4EFG中，注意到DE
6、L DF,由等腰三角形的三线合一知EFDC EG,EG= EF在BEG,由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例3、如图，/XABCt,BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.解：延长AE至G使A氏2AE,连BQDG,显然D氏AG/GDC=ACD由于DC=AC故/ADC=DAC在小口叫AADCG,BD=AC=DGAD=AR/ADB=ADC+ACD=ADC+GD匿/ADG故AAD皆AAD(G故有/BAD=DAG即A叶分/BAE应用：1、以的两边AB、ACJ腰分别向外作等腰ABCRtABD和等腰RtACE,BADCAE90,连接口已m、n分别是BGDE勺中点.探究：AM与D
7、E的位置关系及数量关系.(1)如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是线段AM与DE的数量关系是;将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AG 解：（补短法）延长AC至F, AB国zAFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知使 BF= BG/ 1 = /2,使 AF= AB,连FDP为AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC 连PDPB-POPF-PCPa.解：(镜面反射法)延长BA至F,使AF=AGAD为ABC勺角平分线，MNLAD知/FAE=/CAE故有FA/ACAE(SAS故EF=CE在BEF中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而Pb=BE+CE+BC
8、BF+BC=BA+ACPBC=例2如图，在ABC的边上取两点DE,且BD=CE求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.vBD=CE,DM=EM,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相力口得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABO,/B=60,ABC勺角平分线AD,CEj目交于点O,求证：OE=ODDC+AE=ACC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60度，贝叱BA
9、C吆BCA=120度;AD,CE均为角平分线，贝U/OAC+ZOCA=60S=ZAOECOD;/AOC=120度.B在AC上截取线段AF=AEg接OF.又AO=AONOAE=ZOAF.则，OA三AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=ZAOE=60度.则/COF=/AOC上AOF=60S=ZCOD;又CO=COOCD=ZOCF.故，OCAOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，zABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BGDEIAB于E,DFAC于F.(1)说明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a,AC=d,求AEBE的长.解
10、：（垂直平分线联结线段两端）连接BRDCDG直平分BC,故BD=DC由于AD平分/BACDELAB于E,DFAC于F,故故RTDB陷RTDFC(HD有故有BE=CRAB+AC=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等(1)(2)三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60o,AD、CE分别是/BAG/BCA的平分线，ADCE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图，在ABC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你解:在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明;（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD若不成立，请说明理由。B（2）答：
