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1、现代信号处理仿真作业一(3.谐1波8恢复班级：自研42姓名：李琳琳学号：2004211068谐波恢复的基本理论与方法：1谐波分解理论谐波过程可用差分方程描述，首先利用谐波分解理论推导谐波过程所对应的差分方程。对单个正弦波x(n)，sin(2fn+0)利用三角函数恒等式，有：x(n)一2cos(2f)x(n一1)+x(n一2)，0对上式作变换，得：1-2cos(2f)z-1+z-2X(z)，0得到特征多项式：1-2cos(2兀f)z-1+z-2，0。由此可见，正弦波的频率可以由相应特征方程的一对共轭根来决定：f，larctanIm(z)/Re(z川/2兀iii将单个正弦波推广到多个正弦波的情形，
2、得：如果个实的正弦波信号没有重复频率的话，则这个频率应该由特征多项式1+az-1+.+az-(2p-1)+z-2p=012p-1的根决定。由此可得到个实正弦波所组成的谐波过程可以用以下的差分方程进行描述：x(n)+ax(n-i)，0ii,1这是一个无激励的过程。谐波恢复的建模法在无激励的模型差分方程x(n)+ax(n-i)=0两边同乘x(n-k),并i取数学期望，则有：R(k)+aR(k，i)=0,Vkxixi=1正弦波过程一般是在加性白噪声中被观测的，设加性白噪声为w(n),即观测过程为：y(n)=x(n)+w(n)=Asin(2fn+0)+w(n)，其中w(n)为iiii=1均值的高斯白噪
3、声。由于谐波过程与加性白噪声统计独立，所以有：R(k)=R(k)+R(k)=R(k)+026(k)yxwxw将(3式)代入(2式)得：R(k)+aR(k一i)=0,k2pyiyi=1这就是加性白噪声中观测到的个正弦信号所组成的谐波信号的过程的所服从的法方程。3.谐波恢复方法利用以上两种理论所推导的结果，可以通过以下方法进行本题的仿真实验(程序见附页)：(1.)根据题目要求给出仿真数据x(n)=J20sin(20.2n)+J2sin(20.213n)+w(n)其中w(n)为均值，单位方差的高斯白噪声。求x(n)的自相关矩阵利用上面推导出来的式给出该谐波过程的过程所服从的法方程。其中公式中的对应题
4、目中的x若用最小二乘方法，则根据题目要求，可直接取阶数分别为和，然后用最小二乘法求解法方程，得出参数的估计值a,a,a12p若用总体最小二乘方法，则取较大的和，列出法方程的增广矩阵，求出该矩阵的有效秩即阶数的估计值后，再用课本页的总体最小二乘方法求得参数的估计值a,a，,a。12p将所求得的参数a,a，,a代入中，得该谐波过程的特征方12p程，求解该特征方程得其模为的共轭复根。由式f=larctanIm(z)/Re(z川/2兀即可求得正弦波频率的估计值。iii参数和正弦波频率估计值的统计结果根据以上理论及方法分别编写最小二乘和总体最小二乘的程序，各独立运行次，其结果及统计结果如下：1最小二乘1
5、阶数为-0.1600-0.2792-0.2207-0.1843-0.7587-0.2687-0.2143-0.48260.82840.71970.73270.65410.81801.00690.73440.88660.38460.37810.40420.47780.02830.20560.41120.14850.1174-0.0642-0.0133-0.0708-0.26170.2302-0.0082-0.0244ar_mean=-0.30530.81560.30360.0148ar_var=0.03260.01740.02570.0186fvMatrix=Columns1through120
6、00.120000.17090.120700.179300.1963000.20000.19990.19970.19980.19970.19990.19970.19970.19970.19980.19980.1997其中，为的矩阵，用来存储次独立运行的参数估计值，每一列为对应该次运行时所得的参数估计值；和为参数估计值的统计结果，为运行次后参数的平均值，为次参数的方差。为的矩阵，用来存储次独立运行的正弦波频率估计值，每一列为对应该次运行时所得的正弦波频率估计值；和为正弦波频率估计值的统计结果，为运行次后正弦波频率的平均值，为次正弦波频率的方差。阶数为0.73420.79580.91771.012
7、31.06420.89171.06130.33530.25280.39250.18590.22560.50020.2227-0.12150.91250.35700.28920.10890.0778-0.19410.12820.18660.17710.20780.0980-0.11770.2724-0.07080.19560.32560.18120.1873-0.21360.0527-0.0309-0.0761-0.1245-0.08070.41040.3344-0.0451-0.06710.0662-0.16420.09240.01290.06180.1047-0.1642-0.34870.2
8、038-0.1395-0.08230.0513Columns13through20-0.0709-0.2426-0.5091-0.2368-0.3134-0.4907-0.4922-0.34100.62660.87460.81220.75091.05630.93030.85350.67790.56710.41250.29550.25490.2981-0.12950.35700.14750.11280.0871-0.2398-0.05260.27450.0993-0.5182-0.2037-0.08340.08010.1475-0.05490.0759-0.20530.3977-0.09690.
9、14060.0408-0.0559-0.12520.1133-0.0711-0.3375-0.1985ar_mean-0.28450.87920.29320.04230.0394-0.0400ar_var=0.02660.02080.05080.04510.03440.0239fvMatrix=Columns1through120.052200.10300.12560.12420.1006000.0338000.15500.17890.19960.10330.19970.15750.15270.18130.19980.19970.19970.18500.16910.19960.24880.19
10、950.22850.19960.19960.19990.21370.19980.23450.19970.1995Columns13through20其中，为的矩阵，用来存储次独立运行的参数估计值，每一列为对应该次运行时所得的参数估计值；和为参数估计值的统计结果，为运行次后参数的平均值，为次参数的方差。为的矩阵，用来存储次独立运行的正弦波频率估计值，每一列为对应该次运行时所得的正弦波频率估计值；和为正弦波频率估计值的统计结果，为运行次后正弦波频率的平均值，为次正弦波频率的方差。3实验结果分析分析以上两组实验结果，当最小二乘方法取阶数为时，所估计出的频率有一个非常接近，但是另一个几乎为。即用参数构
11、成的关于的特征方程只有一对共轭复根，另一对非常接近于实轴。也就是说此时虽然阶数与实际相吻合，但对频率的估计却是不准确的；当最小二乘方法取除数为时，所估计出的三个频率中有一个几近于。其余两个分别接近于实际频率0.和20.2，1可3以用来作为对本题谐波恢复的频率估计。2总体最小二乘反复运行总体最小二乘程序，可以看到绝大多数情况下阶数的估计值为4，由此可以推测观测数据对应的谐波信号个数为2。因此，为了方便求统计结果，下面的组数据均取自阶数估计值为的那些运行结果。（1）总体最小二乘实验结果0.99310.99310.99310.99310.99310.99310.99310.9931ar_mean=-
12、1.07332.2742-1.06840.9931ar_var=1.0e-030*0.20760.20760.20760.0130fvMatrix=Columns1through120.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.2134Columns13through200.19990.19990.19990.19990.19990.19990.19990.199
13、90.21340.21340.21340.21340.21340.21340.21340.2134fv_mean=0.19990.2134其中，为的矩阵，用来存储次独立运行的参数估计值，每一列为对应该次运行时所得的参数估计值；和为参数估计值的统计结果，为运行次后参数的平均值，为次参数的方差。为的矩阵，用来存储次独立运行的正弦波频率估计值，每一列为对应该次运行时所得的正弦波频率估计值；和为正弦波频率估计值的统计结果，为运行次后正弦波频率的平均值，为次正弦波频率的方差。2分析实验结果首先，在适当的阈值下利用方法确定自相关矩阵的有效秩效果很好。本实验中当取阈值为0.9时9，8所估计出的有效秩绝大多数情况下均为，只有个别时候才会出现或者的情况。其次，次运行的统计结果表明用总体最小二乘方法所估计出的参数和谐波频率与实际值非常吻合。其中，谐波频率的估计值分别为和，十分接近于实际频率和2而参数估计值和频率估计值的方差也都远小于最小二乘法中对
