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1、2. 三阶行列式a a-1对aa21aa1. 二阶行列式a2223a313233all a12a21 a22=仇11口22 a12a21对角线法则=aaa11 2 2 33+ a a a + a a a a a a a a a a a a12 23 3113 21 3211 23 321 2 21 3313 22 31 按行（列）展开法则3. 全排列：n个不同的元素排成一列。所有排列的种数用心表示，心=n!逆序数:对于排列Pi PPn，如果排在元素R前面，且比P吠的元素个数有个，则门这个元素的逆序数为虬整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的
2、排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即仃4.对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.a12a22 a23a13a23a33二工(1)t( jj2j3)a a a1j1 2j2 3j3其中：川亦 是1,2,3的一个排列，t （川必）是排列/心的逆序5.a11a.21F三角行列式:a22= a a11 22.ann副三角跟副对角相识对角行列式： 行列式的性质:2an1an2ann=入入.入1 2 n副对角行列式:入1入2行列式与它的转置行列式相等.（转置：行变列，列变行）。n(n -1)=(1)2入入入D1 = DT n互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行
3、列式值为零。互换两行： 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列 式。第i行乘k：巧x k推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式 之和。如： 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去， 行列式的值不变。如第j列的k倍加到第i列上：5 +呵7.重要性质：利用行列式的性质+切 或5 + g，可以把行列式化为上（下） 三角行列式，从而计算n阶行列式的值。（P11页例7）8行列式按行（列）展开法则（*重要
4、*） 重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素a.所在的第i行和第j列划去，剩下的ij（n ?1 ）2个元素按原来的排法构成的n ? 1阶行列式叫做a.的余子ij式，记为M.ij代数余子式：记 Aij=（?1） i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。ijijij 重要性质，定理1）第 i 行各元素的余子式，代数余子式与第 i 行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与D = a A + a A +a A D = a A + a A +a A其对应的代数余子式乘积之和，即 1或 x 2 22”推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应
5、元素的代数余子式乘 积之和等于零.即或 使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0 元素a.,并将该行其他元素通过性质化为0则D = a Aj j9.利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0则 无解其中巧（j=1,2n）是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替 后所得到的的n阶行列式即：对于齐次线性方程组，如果系数行列式D丰0,则该方程组只有零解，若D = 0, 则存在非零解。第一章1.矩阵相关的概念：矩阵：由mxn个数（i=1,2,m; j=1,2,n）排排成的m行n列的数表（是
6、组数）。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B :矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等。零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为0,不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为，其余元素为0的方阵单位矩阵：对角线元素 为1,其余元素为0的方阵，2. 矩阵的运算1) 加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律2)数与矩阵相乘11ka12ka 1nXakaXa入A=Ak =21222n/ka m1kam1 ka.(九卩)A =九(卩A)，(九+ p)A二九A + A，九(A + B
7、)二九A +九B3) 矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；4心比“乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列 数；Gn x n即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。注意：一般情况下：AB丰BA。但是满足结合律和分配律。EA = AE = A4) 矩阵的幂：若A是n阶方阵，则：AkAi = Ak+1, (Ak)i = Aki42 = 4i4 A3 = AA2 Ak = AAk1 显然：(AB)k = AkBkF(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ” a、b可交换时才成立(A + B)(A
8、- B) = A2 - B J3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作 AT .如：A=则 A 为对称阵性质显A)r =九At ;(4) (Abt =JbtAt.设A为n阶方阵，如果满足，即旳二切如果满足A二-，即山广-切，则A为反对称阵4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A.性质： I At|=| a |, | 九 A |二九 n | A |, | AB 1=1 AIIBI。5. 伴随矩阵：其中飭是呦的代数余子式，A *称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）（A AA、1121n1A A. A注意：元素切
9、的代数余子式仙是位于果有的第阶方阵iB列使似于孑A = E，则称A可逆，AA.1n2nnn性质：AA 二 A A AEB为A的逆矩阵，记为。且A的逆矩阵是唯一的。判断方阵A是否可逆：|4|弄0 A可逆，且逆矩阵A - 1二加推论：若冏主0,则二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两：=R。此时称A为非奇异矩阵。若1川=,则称A为奇异矩阵。号。 A - ad-bc（d -b -c a6. 逆矩阵：对于n2阶方阵A,2单位矩阵E是可逆的E二E - 零矩阵是不可逆的。对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么A 、2A （2H0）、AB也可逆且: （A -1）
10、-1 = A,）-1 =（ A-1）T 用逆矩阵求解线性方程组:已知AXB = C,若AB可逆，则X= A CB a （A在X左边，则A -】必须在C 左边，B也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的）2）分块矩阵A的转置:除了 A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。、8.分块对角矩阵：设A是n阶矩阵，若:(A1A2A的分块矩阵只有在对
11、角线上有非零子块，As丿其余子块都为零矩阵 对角线上的子块都是方阵则称A为分块对角矩阵。性质：I A若I AsA A1(A-11A -1A2sA1弄0,则 a o,并且As_1 丿分块副对角矩阵:A = O的充分必要条件：A二0第三章1.初等行变换：（运算符号：）-注意与行列式的运算加以区分互换两行，记做门?卩第i行乘以非0常数k，记做八X k第j行的k倍加到第i行上，记做几+切2. 若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B,则称A与B等价，记做AB仏的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ =B3. 矩阵之间等价关系的性质：反身性：A4对称性：若AB，则BA传递性：若A，BC，则A
12、C4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵:4）非零行的首非零元为1;5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5. 初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）1） 单位矩阵对换i，j行，记作 爲）民n（ij） 為（切）2） 以常数k#0乘单位矩阵第i行（列）记作為（）隔（Z（k） =為（卅）3）以k乘单位矩阵第j行加到第i行，记作ENJ（k）脇（切的）=為（切（- Q）性质1 :左行右列设A是一个mxn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩 阵；对A施
13、行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩 阵.性质2:方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵片P2，匕，使A = P1A E 1 2 l 1P2 , Pl 推胆：方阵A可逆的充要条件是 r如果A*，则存在可逆矩阵P,使PA = B。？（A,E）（B,P）：即当A变换成B是 时，E变为P （求P）求方阵A的逆矩阵方法总结:方法1：判断A可不可逆：若SI ? A可逆-书中P41页4二音& * :注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即rE ? A可逆 书中P64页例2 （A,E）（E- i）：即对矩阵（A,E）进行初等行变换，当A变成E时，E
14、就变 成了所求的A - 1求八8该方法用来求方程组AX二B ? X二A _若也二可先化为AtXt 二 Bt方法：30）（胆-怡）：即对矩阵（A,B）进行初等行变换，当A变成E 时，B就变成了所求的力一也二、矩阵的秩1. k阶子式：在mxn矩阵A中，任取k行k列（k m, k n）, 位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.mxn矩阵A的k阶子式共有G快哄个2. 矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）。零矩阵的秩等于0。常用.i |
