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1、第二章 2.3 2.3.1基础巩固一、选择题1 .下列命题中，正确的有 （）如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直.过直线i外一点p,有且仅有一个平面与 i垂直.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点 A垂直于a的平面内.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案C解析正确，中当这无数条直线都平行时，结论不成立.2 . 一条直线和平面所成角为仇那么。的取值范围是（）A. （0 , 90 ）B . 0 , 90 C. （0 , 90 D. 0 , 180 答案B解
2、析由线面角的定义知 B正确.3 .在正方体 ABCD AiBiCiDi的六个面中，与 AA1垂直的面的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 6答案B解析仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.4 .直线a与平面”所成的角为50,直线b/a,则直线b与平面”所成的角等于（A. 40B, 50C. 90D, 150答案B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与“所成的角也是50 .5. （2015江西新余一中高一月考）给出下列三个命题：一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；一条直线在平面内
3、的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；中直C.线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；根据射影定义知正确.故选6.如图，已知六棱锥 P ABCDEF的底面是正六边形，PA，平面ABC, PA=2AB,则下列结论正确的是（）A. PBXADB,平面PAB，平面 PBCC.直线BC/平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析设AB长为1,由PA=2AB得PA = 2,又ABCDEF是正六边形，所以 AD长也为2,又PA，平面ABC,所以PA1AD,所以4P
4、AD为直角三角形.PA= AD, .1.zPDA=45o,.PD与平面ABC所成的角为45,故选D.、填空题7 .空间四边形 ABCD的四条边相等，则对角线 AC与BD的位置关系为 答案垂直解析取AC中点巳连BE、DE.由 AB= BC 得 AC JBE.同理 ACJDE,所以 ACXWBED.因此，AC JBD.8 .等腰直角三角形 ABC的斜边AB在平面a内，若AC与a所成的角为30,则斜边 上的中线CM与a所成的角为.答案45解析如图，设C在平面口内的射影为。点,则/CAO=30, /CMO就是CM与a所成的角.设 AC= BC= 1,则 AB = 2,CM 著,COJ. sinCMO
5、=CO 2CM =T,CMO = 45.三、解答题9.如图，在三棱锥 A- BCD中，CA = CB, DA=DB. # BEX CD, E为垂足，作 AH BE于H.求证：AH，平面BCD.分析要证AHL平面BCD,只需证AH垂直于平面BCD内两条相交直线即可.当条件中有线段相等时，证明线线垂直可以考虑等腰三角形的性质.证明取AB的中点F,连接CF、DF.CA=CB, DA = DB,CFIAB, DF 1AB.CF A DF= F,.AB，平面CDF.CD?平面 CDF , . AB JCD.又 CDJBE, ABABE = B,CD，平面ABE.AH?平面 ABE,CDIAH.AHJBE
6、, BEA CD = E,AH，平面BCD.点评垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线 线垂直，要证线线垂直，可证线面垂直.关键是在平面内找出（或作出）与已知直线垂直的直线，利用等腰三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法.10.如图在三棱锥 P ABC 中，PA=PB = PC=13, Z ABC =90, AB=8, BC= 6, M 为AC的中点.(1)求证：PM,平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.解析(1)证明：PA=PC, M为AC的中点, .PM必C.又/ABC = 90, AB = 8, BC=6,.am = mc = mb
7、= 2ac = 5.在APMB 中，PB=13, MB = 5.PM = PC2- MC2 = /32-52 =12. PB2=MB2+ pm2,. PM WB.由可知 PM，平面ABC.(2)解：,.下“，平面ABC,. MB为BP在平面ABC内的射影，PBM为BP与底面ABC所成的角.在 RtPMB 中 tanZPBMnPM：12.MB 5能力提升、选择题1 .如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为 A1C1上的点, 则下列直线中一定与 CE垂直的是()A. ACB. BDC. A1D1D. AiA答案B解析 ED1AC, BDlAiA, ACAAiA = A,BD，平面ACC
8、1A1.又CE?平面 ACC1A1, . BDJCE.2 .在三棱柱ABC AiBiCi中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BBiCiC的中心，则AD与平面BBiCiC所成角的大小是（）A. 30B. 45C. 60D. 90答案C解析如图，取BC的中点E,连接AE,则AEL平面BCCiBi.故DE为直线AD与平面BBiCiC所成的角.设各棱长为a,则AE=#a, DE =a. tan DE =3. ADE = 60.3.如图，三条相交于点 P的线段FA, PB, PC两两垂直，P在平面ABC外，PH,平 面ABC于H,则垂足 H是 ABC的（）cA.外心B.内心C.垂心D.重心答案C解
9、析.PCJPA, PCJPB,PAA PB= P, . PC，平面 PAB.又.AB?平面 PAB, . ABdPC.又.ABIPH, PH n PC=P,AB，平面 PCH.又.CH?平面 PCH, . AB1CH.同理 BC JAH , AC1BH. H为AABC的垂心.4 .如图，ABCDAiBiCiDi为正方体，下面结论错误的是 （）A. BD/平面 CBiDiB. ACi BDC. ACi,平面 CBiDiD.异面直线AD与CBi所成的角为60答案D解析=AD / BC, .zBCBi为异面直线 AD与CBi所成的角.BiBC为等腰直角三角形，故/ BCBi=45.即异面直线AD与C
10、Bi所成的角为45.二、填空题5 .已知PA垂直于平行四边形 ABCD所在的平面，若 PCXBD,则平行四边形 ABCD 一定是.答案菱形解析 由于PAL平面ABCD, BD?平面ABCD,所以PAJBD .又 PC1BD,且 PC?平面 PAC, PA?平面 FAC, PCAPA=P,所以 BDL平面FAC.又AC?平面PAC,所以BD1AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形 ABCD是菱形.96 . （20i3山东）已知三棱柱ABCAiBiCi的侧棱与底面垂直，体积为底面是边长为 小的正三角形.若 P为底面AiBiCi的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 .兀答案3分析作出PA
11、与平面ABC所成的角，再求解即可.解析设三棱柱的高为h,则743x（ , 3）2Xh = 4,解得h = J3.设三棱柱中底面 ABC的 中心为Q,则PQ= V3, AQ=3xg3x J3=i.在RtMPQ中，/PAQ为直线PA与平面ABC.一.一TT所成的角，且tanZPAQ = J3,所以/PAQ=%3三、解答题7.如图所示，在矩形 ABCD中，AB=3V3, BC=3,沿对角线BD将 BCD折起，使 点C移到C点，且C点在平面 ABD上的射影。恰在AB上.(1)求证：BC，平面AC D;(2)求直线AB与平面BC D所成角的正弦值.解析 证明：二.点C在平面ABD上的射影O在AB上,.
12、C O,平面ABD, .C OIDA.又.DA1AB, ABAC O=O,. DA，平面 ABC , .DAIBC.又BCJCD,.BC JC D.DA AC D=D,BC，平面 AC D.(2)如图所示，过 A作AEJC D,垂足为E.BC，平面AC D, . BC JAE.又.BC AC D=C,AEL平面BC D .连接BE ,则BE是AB在平面BC D上的射影, 故dBE就是直线AB与平面BC D所成的角.DA1AB, DAJBC,. DA，平面 ABC .DA 1AC在 RtAC B 中,AC，=AB2- BC2 =3p在 Rt区C D 中，C D = CD = 3炉.在Rt工AD中
13、，由面积关系，得AC AD 342x3 厂AE=下丁 =%7=乖在RtEB 中,AE 62加“BE =行升*,即直线AB与平面BC D所成角的正弦值为 弯.8.(2015江西月考)如下图，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD , 1PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是 1、2, AP=2, E、F依次是PB、PC的中点.(1)求证：PBL平面 AEFD;(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.,，一 、一 1_ L _解析(1)证明：.PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是 1、, AP=2,且PA，平面ABCD,. AB = 2, AD = 4.PA
14、L平面ABCD,底面ABCD是矩形,. AD,平面 PAB,. AD JPB.,.E是PB的中点，AP = AB,. AE JPB.又 AE, AD?平面 AEFD , AEAAD = A,. PB，平面AEFD .(2),.PA，平面ABCD,. CD JPA,又 CD 必D, PAA AD = A,. CD，平面 PAD,取PA的中点G, CD的中点H,连接EG、GH、GD ,一“ 一 一一 1贝U EG / AB/ CD 且 EG=AB= 1 ,-11又 CH=2CD=AB=1,四边形EGHC是平行四边形，EC/GH, .HGD为直线EC与平面PAD所成的角.在 RtGDH 中，易求 GH = 342,HD 1 sin Z
