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1、 邯郸市一中高三一轮收官考试（二）数学（理）试题及解析一、选择题1已知，则复数z=（ ）A1+i B1-i C-1+i D-1-i【答案】A【解析】试题分析：可得，所以选A【考点】复数运算2已知全集，集合，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A-1，1） B（-3，1 C D（-3，-1）【答案】D【解析】试题分析：，显然阴影部分表示的集合为，故选D【考点】韦恩图表示集合3在单调递减等比数列中，若则（ ）A2 B4 C D【答案】B【解析】试题分析：根据等比数列的性质并由得，解得或因数列单调递减，所以，则等比数列的公比为，故选B【考点】等比数列的基本量运算4已知函数，若在1，8上任取一个实数，则不
2、等式成立的概率是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：解对数不等式得，由几何概型的概率计算得，不等式成立的概率是故选C【考点】几何概型的概率计算5执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：易知该程序执行的实质是求数列的前21项的和s，所以用裂项法得，故选C【考点】程序框图的运用6已知函数的最小正周期是，若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数的图像（ ）A关于直线对称 B关于直线对称C关于点对称 D关于点对称【答案】B【解析】试题分析：可知，所以，将其图像向右平移个单位得到的图像的解析式为因为其图像关于原点对称，所以该函数
3、为奇函数，则又因，所以当时，此时函数的解析式为，同时时函数取得最大值，即直线是函数的对称轴选B【考点】三角函数的图像平移及对称性7已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，在四边形ABCD的面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：可知圆是以（2，-1）为圆心，为半径的圆，点E在圆内，显然当弦AC为直径是最长且为，BD与AC垂直时其长最短，所以四边形ABCD的面积为故选D【考点】直线与圆的综合问题8已知某空间几何体的三视图如犹如所示，则该几何体的体积是（ ）A16 B24 C32 D48【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个四棱锥E-ABCD，底面ABCD是一个直角
4、梯形，各边长如图所示，AB=6，所以由棱锥的体积公式得，故选D【考点】三视图9已知实数a，b满足，则函数的零点所在区间是（ ）A（-2，-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2）【答案】B【解析】试题分析：可知，且，于是函数为单调递增函数可得，所以函数的零点在区间（-1，0）内，故选B【考点】零点存在性定理10已知实数x，y满足条件若目标函数的最小值为5，其最大值为（ ）A10 B12 C14 D15【答案】A【解析】试题分析：依题意知，不等式表示的平面区域如图所示的三角型ABC及其内部且A（2，2）、C（2，4-c）目标函数可看作是直线在y轴上的截距，显然当直线过点C时，截距最小及z
5、最小，所以解得，此时B（3，1），且直线过点B时截距最大，即z最大，最大值为故选ACBAO【考点】线性规划求最值【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z的值域；（4）总结结果另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解例如目标函数为可看作是可行域内的点（x，y）与点（0，0）两点间的距离的平方；可看作是可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率等等11已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线
6、在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A（0，+） B（，+） C（，+） D（，+）【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，双曲线的实半轴长为，显然其虚半轴长为c由椭圆及双曲线的定义得，及，则又因是以为底边的等腰三角形，所以即由得，所以又因为，所以即，从而求出故选B【考点】圆锥曲线的性质离心率【思路点睛】本题是研究椭圆及双曲线的定义及性质（离心率），综合性强、难度大对这类题目不应盲目的去硬算，应该结合定义、图像及性质进行分析，得到适当的结论，然后找到求解的方法例如，本题运用定义并结合图像得到，、从而列出关于的函数
7、，并求出c的范围，然后求值域即可12若函数在区间（）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）A（-，-1 B-1，+） C（-，0） D（0，+）【答案】A【解析】试题分析：函数在区间（）上是增函数，则即在区间（）上恒成立设，则于是原题目等价于函数a小于等于在的最小值易知该函数在定义域内单调递减，所以，于是故选A【考点】由单调性求参数范围【方法点睛】含参数的函数在区间上具有单调性，求参数范围的解法突破：（1）函数在给定区间上单调递增，转化为其导函数在区间上恒成立，进而转化为在区间上的最小值大于等于0同理，若函数在给定区间上单调递减，转化为其导函数在区间上恒成立，进而转化为在区间上的最大值小于等于
8、0二、填空题13已知向量满足，且，则的夹角为 【答案】【解析】试题分析：由已知条件及数量积的运算律可得，从而得，则的夹角为【考点】向量夹角14已知展开式的二项式系数已知为64，则其展开式中常数项是 【答案】60【解析】试题分析：由条件得，由二项式展开式的通项公式得，显然时，展开式为常数项且常数项为【考点】二项式通项15已知在直角梯形ABCD中，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为 【答案】【解析】试题分析：可知当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，即平面ACD平面ABC，而此时三角形ACD是以AC=C D =1，的等腰直角三角形，三
9、角形ABC是等腰直角三角形且显然，其外接球的球心在AB的中点处，所以半径为1，故其外接球的体积为【考点】多面体与球的外接问题【方法点睛】多面体的外接球问题，常常是先找准外接球的球心，然后再去求解显然球心的位置是难点，应根据几何体的对称性估计出球心的可能位置，然后定性分析并确定其准确位置，然后在计算出半径即可求解同时注意：多面体的内切球问题，思路基本一致；应熟悉常见几何体与球的外接、内切问题16如图所示，已知中，D为边AC上的一点，E为BD上的一点，且，则DC= 【答案】【解析】试题分析：设CD=x，则因为，所以，且又因，所以，解得【考点】解三角形【方法点睛】本题是解三角形问题，由于题目提供了角
10、之间的关系，所以经分析得到，在直角三角形中可以得到两角的正切值分别为，然后利用倍角公式即可得到x的方程，进而求解三、解答题17已知数列前n项和为，满足（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，为数列的前n项和，若对正实数a都成立，求a的取值范围【答案】（1）证明过程详见解析，；（2）【解析】试题分析：（1）已知条件是数列的项与和的关系求通项公式，消和留项，从而得到数列的递推公式，然后构造法证明是等比数列，并求数列通项即可；由（1）得，运用裂项法求和得到，从而求出参数a的范围试题解析：（1）由题由题设两式相减得即又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列又所以 因为所以依题意得：【考
11、点】构造法求数列通项公式；裂项法求和；恒成立求参数范围18某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495，（495，500，（500，505，（505，510，（510，515）（1）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克 的产品数量，求随机变量X的分布列；（2）若将该群体分别近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率【答案】（1）随机变量X的分布列为X012P（2）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可求得质
12、量超过505克的产品数量为12，然后根据超几何分布求出对应随机变量的概率，从而求出分布列；（2）由已知得该流水线上产品的重量超过505克的概率为03，然后按照二项分布的概率计算即可求解试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为（0001+0005）540=12由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，随机变量X的分布列为X012P由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为03设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则YB（5，03）故所求概率为【考点】超几何分布；二项分布19如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA平面
13、ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值【答案】（）垂直，证明过程详见解析；（）【解析】试题分析：（） 在菱形ABCD中，可知AEAD又由PA平面ABCD，得PA AE 从而证明AE平面PAD，然后由直线与平面垂直的性质即可证明；（）根据（） 可建立如下图的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，然后分别求出平面AEF与平面ACF的法向量，最后依据法向量夹角与平面夹角的关系求出二面角的余弦值试题解析：（）垂直证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形因为E为BC的中点，所以AEAD因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE而PA平面PADAD平面PAD且PAAD=A，所以AE平面PAD又PD平面PAD，所以AEPD（）由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D （0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），所以设平面AEF的一法向量为，则，因此，取，则因为BDAC，BD PA，PAAC=A，所以B
