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1、新教材适用北师大版数学章末小结1.复数的概念及主要代数性质(1)复数:形如z=a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2=-1,a,b分别叫它的实部和虚部.(2)复数的分类:设复数z=a+bi(a,bR),当b=0时,z为实数;当b0时,z为虚数;当a=0,且b0时,z为纯虚数.(3)复数相等的条件:在复数集中任意两个复数a+bi,c+di(a,b,c,dR),规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别相等,那么就说这两个复数相等.(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.(5)共轭复数:当两个复
2、数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.2.对复平面与复数的几何性质的理解(1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.(2)复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.(3)复数的模:因为z=a+bi(a, bR)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+bi的模,因此有|z|=,且有 z=a2+b2.3.复数的四则运算及运算律(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1z2=(ac)+(bd)i;z1z2=(ac-bd)+(ad+b
3、c)i;=+i(z20).(2)结论:在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.若z为虚数,则|z|2z2.(3)运算律复数的加法运算满足交换律、结合律.复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.复数的减法是加法的逆运算,复数的除法是乘法的逆运算.4.复数与其他知识的联系与区别(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为实数问题来解决,复数z=a+bi(a,bR)与复平面
4、内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切.(2)复数代数形式的加、减运算与平面向量的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算是类似的.题型1:复数的基本概念和运算已知复数z=(2+i)m2-2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?【方法指导】得结果结合条件确定m对复数z进行化简【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+20,即
5、m2且m1时,z为虚数.(3)当即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.题型2:复数的几何意义已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【方法指导】a的范围解不等式组列不等式组化简(z+ai)2求出z列方程组设z=c+di【解析】根据题意,设复数z=c+di(c,dR),则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c
6、-2i.又=为实数,即=0,解得c=4,所以z=4-2i.(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,解得2a6.实数a的取值范围是(2,6).【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.题型3:复数的综合应用设z是虚数,=z+是实数,且-12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求-u2的最小值.【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用=z+是实数为突破口求出|z|,结合-12的范围求出z的实部的取值范围.证明u为纯虚
7、数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求-u2的最小值,这里可利用重要不等式.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR,b0),则=a+bi+=(a+)+(b-)i.是实数,b0,b-=0,a2+b2=1,|z|=1,=2a,又-12,z的实部的取值范围是(-,1).(2)u=-i.又a(-,1),b0,u为纯虚数.(3)-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3.a(-,1),a+12,-u21,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.故-u2的最小值为1.【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+bi(a,bR),这是解决复数
8、问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.1.(2012年全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中的真命题为().A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】由题意得z=-1-i,则=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.【答案】C2.(2013年全国卷)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【解析】z=i(1+i)=-1+i.【答案】A3.(2013年安徽卷)设i是
9、虚数单位,若复数a-(aR)是纯虚数,则a的值为().A.-3B.-1C.1D.3【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,所以a=3.【答案】D一、选择题1.复数的虚部是().A.-1B.1C.iD.-i【解析】=-1+i.【答案】B2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为z=-i,所以其在复平面上对应的点为(-,-),在第三象限.【答案】C3.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z=3-4i.(法二)
10、设z=a+bi(a,bR),则(3+4i)(a+bi)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.【答案】D4.已知集合M=1,2,zi,i为虚数单位,N=3,4,MN=4,则复数z=().A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】MN=4,4M,zi=4,z=-4i.【答案】C5.已知复数z满足(1-i)z=2,则|为().A.1+iB.1-iC.D.2【解析】z=1+i,=1-i,所以|=|1-i|=.【答案】C6.若复数(aR,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为().A.2B.4C.-6D.6【解析】=,根据已知条件a=-6.【答案】C7.若复数z满足方程
11、z2+2=0,则z3等于().A.2 B.-2 C.2 iD.-2 i 【解析】z2+2=0z=iz3=2 i.【答案】C8.已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b等于().A.-1B.1C.2D.3【解析】由已知条件a+2i=-1+bi,则a=-1,b=2,a+b=1.【答案】B9.若纯虚数z满足(2-i)z=4+bi,则实数b等于().A.-2B.2C.-8D.8【解析】(法一)设z=ai(aR且a0),则ai(2-i)=4+bi,即2ai-ai2=4+bi,a+2ai=4+bi,即b=8.(法二)由(2-i)z=4+bi,得z=+i,则=0,b=8,选D.【答案】D10.定
12、义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由题意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,即z=2-i,所以=2+i,对应点(2,1)在第一象限,选A.【答案】A二、填空题11.复数=.【解析】=-2i.【答案】-2i12.复数(i为虚数单位)的实部等于.【解析】=-3-i,-3-i的实部等于-3.【答案】-313.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=.【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.【答案】2+3i14.若(x+i)i=-1+2i(xR),则x=.
13、【解析】由题意,得x+i=2+i,所以x=2.【解析】215.若z=,则z100+z50+1=.【解析】z=,z100+z50+1=()100+()50+1=()50+()25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.【答案】i三、解答题16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.【解析】=+=,则z=5-i.17.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.【解析】(z1-2)(1+i)=1-i,z1=2-i.设z2=a+2i,aR,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.z1z2R,a=
14、4,z2=4+2i.18.已知复数z=(3+bi)(1+3i)(bR)是纯虚数.(1)求b的值;(2)若w=,求复数w的模|w|.【解析】(1)z=(3+bi)(1+3i)=(3-3b)+(9+b)i.z是纯虚数,3-3b=0,且9+b0,b=1.(2)w=-i,|w|=.19.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)把复数z的共轭复数记作,若z1=4+3i,求复数z1;(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.【解析】(1)由题意得=1+2i,所以z1=2-i.(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0.根据复数相等的条件,有-6+p+q=
