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1、1.分类讨论的常见情形 （1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. （2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等. （3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c0，a=0，a0，a0解法是不同的. （4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类
2、，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等. （5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见. （6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则 （1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分
3、类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤 第一，明确讨论对象，确定对象的范围； 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出. 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免
4、分类.类型一：不等式中的字母讨论1、解关于的不等式：.思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的. 解析： （1）当时，原不等式化为一次不等式：，； （2）当时，原不等式变为：， 若，则原不等式化为，不等式解为或， 若，则原不等式化为， （）当时，不等式解为， （）当时，不等式解为； （）当时，不等式解为， 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为x|x1； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 总结升华：1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
5、（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确分类，不重不漏； （2）逐步进行讨论，获得结段性结论； （3）归纳总结，综合结论.2一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式）等.3字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序进行.举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为: ， （下面按两个根与的大小关系分类） （1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：； （2）当，即时，不等式的解集为：； （3）当，即或时，不等式的解集为：； 综上所述，原不等式的解集为： 当或时
6、，； 当时，； 当或时，. 【变式2】解关于的不等式:. 解析： （1）当时，不等式为, 解集为； （2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论： 即时，方程有两根 . 则原不等式的解为. 即时，方程没有实根， 此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为. 即时，方程有两相等实根为， 则原不等式的解为. （3）当时，恒成立， 即时，方程有两根. 此时，为开口向下的抛物线， 故原不等式的解集为. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 ； 当时，解集为. 类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为， （）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （）求； （
7、）试求满足的所有实数.解析： （I）， 要使有意义，必须且，即，且的取值范围是 ， 由得：， ， （II）由题意知即为函数，的最大值， 时，直线是抛物线的对称轴， 可分以下几种情况进行讨论： （1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知在上单调递增，故； （2）当时，有=2； （3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段， 若即时， 若即时， 若即时， 综上所述，有= （III）当时，； 当时， ， 故当时，； 当时，由知：，故； 当时，故或，从而有或， 要使，必须有，即， 此时， 综上所述，满足的所有实数为：或. 举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在
8、(-1，+)上恒有f(x)3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则， 整理得：，解得或(1)当时，则，此时x(-1，+)时，f(x)3，不满足题意； (2)当，则，此时，x(-1，+)时， 即f(x)3，满足题意为所求. 综上，. 【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析： 令，则(). (1)当即时， 解得:或（舍）； (2)当即时，, 解得:或（舍）； (3)当即时，解得（全都舍去）. 综上，当或时，能使函数的最大值为2.3、已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）求在区间上的最小值.解析： （1）函数的定义域为（0，+） 对求导数，得 解不等式，得0xe
9、解不等式，得xe 故在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减 （2）当2ae时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增， 所以当ae时，由（1）知在（e，+）上单调递减， 所以当时，需比较与的大小 因为 所以，若，则，此时 若2ae，则，此时 综上，当0a2时，；当a2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（）中比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设， （1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+）上的单调性； （2）记f(x)在0x1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析： （1）设0x1x2+ 则f(x2)-f(x1)= 由题设x2-x
10、10，ax1x20当0x1x2时，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间0，单调递减， 当x1x2+时，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间（，+）单调递增. （2）因为0x1，由（1）的结论， 当01即a1时，g(a)=f()=2-; 当1，即0a1时，g(a)=f(1)=a 综上，所求的函数y=g(a). 【变式2】求函数在上的值域.解析： 令，则(1)当0a1时， 0xa，f(x)0(只有a=1且x=1时f(x)=0)f(x)在0,a上单增，从而，值域为； (2)当a1时， 0xa，f(x)在单增，在上单减， 并且，值域为；
11、(3)当-1a0时， 0x|a|，f(x)在0,|a|上递减 从而即，值域为(4)当a-1时， 0x|a|，f(x)在单减，在上单增， ，又， ，值域为.类型三：数列4、数列an的前n项和为Sn，已知Sn是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列Sn的公比为q，则q0q=1时，Sn=S1=a1 当n=1时，a2=0，即 当n2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即q1时，Sn=S1qn-1=a1qn-1 当n=1时， ，即. 当n2时， an=Sn-Sn-1=a1qn-1-a1qn-2=a1qn-2(q-1) 此时q1时， 0q1时，. 总结升华：等比数列
12、前n项和公式分q=1或q1两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,（其中a0）的前n项和Sn. 解析：数列的通项 an=an-1+an+a2n-2 讨论： （1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+n= （2）当a=-1时， （3）当a1且a0时， . 【变式2】设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和， 证明:.解析： （1）当q=1时，Sn=na1，从而， （2）当q1时， 从而 由（1）（2）得:. 函数为单调递减函数. 【变式3】已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.()求q的值； ()设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说 明理由.解析：()由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q, a10，2q2-q-1=0， 或， ()若q=1，则 当n2时， 若 当n2时， 故对于nN+，当2n9时，Snbn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Snbn. 【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且kN*，k2。 （1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列； （2）若数列的首
