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1、（新高考）2020高考数学二轮复习小题考法专训（四）空间几何体与空间位置关系小题考法专训（四） 空间几何体与空间位置关系A级保分小题落实练一、选择题1.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3 D2解析：选A如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC2.故选A.2已知a，b，c表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题：若ab，b，则a；若ab，b，c，则ac；若ab，b，则a；若ab，b，b，c，则ac.其中错误命题的序号是()ABC D
2、解析：选A对于，由ab，b，可得a或a，故错误；对于，由b，c得bc，又ab，所以ac.故正确；对于，由ab，b，可得a或a，故错误；对于，由b，b，c得bc，又ab，所以ac，正确综上所述，错误命题的序号是，选A.3设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A100 BC. D解析：选D因为切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.4(2019广州综合测试)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面结论：直线BE与直线CF
3、异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的结论个数为()A4 B3C2 D1解析：选C将平面展开图还原成直观图如图所示E，F分别为PA，PD的中点，EFAD.又四边形ABCD为矩形，ADBC，EFBC，B，C，F，E四点共面直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故错误；E平面PAD，AF平面PAD，点E不在直线AF上，B平面PAD，直线BE与直线AF为异面直线，故正确；EFBC，BC平面PBC，EF平面PBC，EF平面PBC，故正确；假设平面BCE平面PAD，即平面BCFE平面PAD，又平面BCFE平面PADEF，作PMEF，垂足为M，可得PM平面BCE
4、，但由题中条件无法证得PM平面BCE，故假设不成立，故错误故选C.5已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A. BC. D解析：选A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R2，则球O的体积VR3.6如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A. BC. D解析：选D因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个
5、顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为，所以截面到球体最低点的距离为1，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.7若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由m知存在直线m1，mm1，由l，m1得lm1，又mm1，因此有lm，“m”是“ml”的充分条件反过来，由ml不能得到m，此时直线m可能位于平面内，因此“m”不是“ml”的必要条件综上所述，“m”是“ml”的充分不必要条件，选A.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点E在
6、棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BEx，A1Fy，则四面体OAEF的体积()A与x，y都有关B与x，y都无关C与x有关，与y无关D与x无关，与y有关解析：选B如图，因为VOAEFVEOAF，所以，考查AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AOA1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即AOF的面积是定值，所以四面体OAEF的体积与x，y都无关，故选B.9(2019成都一诊)在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所
7、成角的正切值为()A. B1C. D解析：选C取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C.10(2019福州模拟)在三棱锥PABC中，PAPBPC，ABAC1，BC，则该三棱锥外接球的体积是()A. BC4 D解析：选A由PAPBPC，得点P在平面ABC内的射影O为底面ABC的外心，PO平面ABC，所以POOA，在ABC中，ABAC1，BC，cosBAC，所以sinBAC.由正弦定理得OA1，即OAOBO
8、C1.在RtPOA中，PO1，所以OAOBOCOP1，所以三棱锥PABC的外接球的球心为O，其半径为1，故三棱锥PABC的外接球的体积为，选A.11已知三棱锥PABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于()A3 BC. D解析：选B如图所示，RtPAC，RtPAB为等腰直角三角形，且APABAC.以顶点P为球心，以2为半径作一个球与RtPAC的PC，AC分别交于M，N两点，得cosAPN，所以APN，所以NPM，所以2，同理，1，又是以顶点P为圆心，以2为半径的圆周长的，所以，所以球面与三棱锥的表面相交所
9、得到的四段弧长之和等于.故选B.12(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. BC. D解析：选A如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHM
10、N6sin 60.故选A.二、填空题13(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.答案：若m且l，则lm(或若lm，l，则m)14.(2019重庆七校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动有下列判断：平面PB1D平面ACD1；A1P平面ACD1；异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；三棱
11、锥D1APC的体积不变其中正确的是_(把所有正确判断的序号都填上)解析：在正方体中，易知B1D平面ACD1，B1D平面PB1D，所以平面PB1D平面ACD1，所以正确；连接A1B，A1C1图略，容易证明平面A1BC1平面ACD1，又A1P平面A1BC1，所以A1P平面ACD1，所以正确；因为BC1AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在A1BC1中，易知所求角的范围是，所以错误；VD1APCVCAD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且AD1P的面积不变，所以三棱锥D1APC的体积不变，所以正确答案：15.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，
12、过BD1的截面的面积为S，则S的最小值为_解析：由题知，过BD1的截面可能是矩形，可能是平行四边形，(1)当截面为矩形，即截面为ABC1D1，A1BCD1，BB1D1D时，由正方体的对称性可知SABC1D1SA1BCD1SBB1D1D4.(2)当截面为平行四边形时，如图所示，过点E作EMBD1于M，如图(a)所示，SBED1FBD1EM，又因为BD12，所以SBED1FEM2，过点M作MND1D交BD于N，连接AN，当ANBD时，AN最小，此时，EM的值最小，且EM，故四边形BED1F的面积最小值为SBED1F22，又因为42，所以过BD1的截面面积S的最小值为2.答案：216(2019全国卷
13、)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_解析：如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.答案：B级拔高小题提能练1.多选题如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF1，则当E，F移动时，下列结论正确的是()AAE平面C1BDB四面体ACEF的体积不为定值C三棱锥ABEF的体积为定值D四面体ACDF的体积为定值解析：选ACD对于A，如图1，AB1DC1，易证AB1平面C1BD，同理AD1平面C1BD，且AB1AD1A，所以平面AB1D1平面C1BD，又AE平面AB1D1，所以AE平面C1BD，A正确；对于B，如图2，SAEFEFh11，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d1为定值，所以VACEFVCAEFd1d
