《数学分析讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析讲义（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、在职人员考研辅导材料数学分析讲义第一讲 极限定义：数列收敛于，当时，当时，有。即: .例1设，（这里或），试证：。（注：，本命题不成立，如：0,1,-1,2,-2,3,-3）。只证：当， ，故，当时，当时，有. 从而当时，上式 ，当时，有但是 取，当时，有。练习1.2 若，则。求极限的方法要点：一 重要极限 二 单调有界数列必收敛三 夹逼定理且，则四 海因定理，有五 变量代换六 罗必达定理例1 例2 例3 又解： 原式例4 设，。求 解： 例5 设，。求 解：显然. . 下证: .用数学归纳法. 是条件. 设 则 , 有. 从而. 递减, 有下界.因此 (存在). . 即例6 设. 求解: 原
2、式 由, 原式=0.例7 求解: , 若, 则. 从而. 若, 则 有. 例8 求例9 求解: , 原式=1.例10 设数列, 单增且, 则. 证：，.从而, 原式=1.例11 求在指定点处的左、右极限. 解：，例12 设f（x）是定义在（a，b）上的单调函数. ， 则与都存在。证：只证存在。设严格单调增数列，且。 则为单调数列，且是有界的。（例如 f（x）单增，则单增，且）从而存在。下证。事实上，当时，有， 取， 则当时， 必有而。从而，使， 例13 求证证明： 只要证. 事实上 则, 从而 ，显然， 例14 设，求证证： 当时，其中， 显然，, ，。例 15 已知，求证证： ，显然 。第二
3、讲 连续性要点:一 定义二 初等函数的连续性三 闭区间上连续函数的性质四 一致连续性。例1 设试确定的值，使得：（1）存在;（2）f（x）在x0连续;（3）f（x）在x0可导。解：（1）当时，上述极限存在，时，上述极限不存在，特别地，时， 时，（2）由（1）知时，f（x）在x0连续。（3） 当时，即：当时，在点.例2求证在不一致连续。证： 若取，则： 当n无限增大时，。但是 ，。例3 若在a, b连续，且。则 使得.证：设 ，. 则有：由介值定理，使得.例4 设在连续，且, . 则，使得.证：令，则，.若，则；若，则；若，则可由介值定理知，存在，使得，即：。例5 证明：单调有界函数可取到之间的
4、任何值，则在连续。证明：，只要证明.先设，则（设单增）若，则.从而下设。取充分小，使得因此 ，使 ，使取，则当时，必有。 即：（若或，只要考虑单边极限）另证：由前面已经证过的一个命题。与存在，且.下证.不然，若，由于为增函数，从而，有：.这样区间内的点，就无法取到。这与条件矛盾。同理，也与条件矛盾。例6若和都在连续，试证：以及都在连续。证：是连续函数的复合函数。从而为上的连续函数。由此知为上的连续函数。另证： ，分三种情况： 从而使得时，有。因此 在处连续。同理可证在处连续。这时，当时，有例7证明：在连续，并且存在，则可取到之间的一切值。（a, b可以为）证明：若是有限数，由存在( 补充定义:
5、 , ), 则在连续。由介值定理在可取到之间的一切值。若，为有限数.由存在，对，（其绝对值充分大）使得则由，s.t. 若为有限，. 同理可证。若，. 则用与的方法也可证。例8 设为有限数，证明上的连续函数为一致连续的充分必要条件为与存在。注：这里不能为，例如在任何区间上一致收敛。但不存在。当或时充分性似成立，必要性不成立。（见例9）证：充分性：若，存在，则由上例中的证明第步知在补充定义后是上的连续函数，从而在上一致连续，因此也在内一致连续。必要性：若在内一致连续，则, , 当且时，有.特别地，当，时，有，由Cauchy准则，存在。同理存在。例9 若在连续，且存在，则在一致连续。证： 设存在，由
6、Cauchy准则，当时，有 （1）由在连续，从而一致连续。，当，且时，有 （2）取，则当，且时，若，必有，从而由（2）；若，且，从而由（1）有。例10 研究的不连续的类型。解：若，则，且 ，即：为的连续点。若，即为无理数。由于，因此不存在，且和都不存在. 为的第型间断点.若，即为不为整数的有理数. ，从而，和都不存在. 这样为的第型间断点。第三讲 导数及其应用要点:一 导数的定义 二 求导公式和法则三 中值定理 1 费马定理：为极大（小）值，在可导，则 2 罗尔定理：在连续，在可导，则:，s.t. . 3 Lagrange中值定理：在上面前二条件下，.4 Cauchy中值定理：满足上面第3定理
7、的条件，且，则:，s. t. .5 泰勒公式：(见例7后若在处有n阶导数, 则有: .四 单调性与导数的关系：在连续，在可导，且，则:在严格单增（减）。五 凸性与导数的关系。 若在连续，在内有二阶导数，则：在是凸的（）。（严格凸）。在是凹的（）。（严格凹）。严格凸函数是指：，则有.特别地，更一般地：，（）例如：时，有二阶导数：，从而 ，等号仅在时成立。证明第五个结论，只证前者：是严格凸的。设，由泰勒公式知： 即有：用相同的方法可以证明：若，.，且使，则有特别地：。注：若，等号仅在一些离散的点处成立，则上述的严格凸性还成立。例如，从而。例1 用定义证明：可导偶函数的导数为奇函数，可导奇函数的导数
8、为偶函数。证明：只证第一部分。设为偶函数，即：。， 例2 用定义证明：可导的周期函数，其导数仍为周期函数。证：设.例3 设，求.解：例4 设，求.解：例5证明不等式，。证：令，则 而在连续，从而在严格单增. ，即：.令.，.，即：证：令.原不等式变为：.令，即：.例6 设E是一个区间，在E上可导，且，M是常数, 则在E上满足Lipschitz条件：，从而在E上一致连续。证：设，则在之间，使.（中值定理），取，则当且时，有在E上一致连续。例7 若在连续，则使得.证：先设且，由极限的保号性。充分小，当时，有即：. 取，有 .同理，存在充分小的，当时，有取，. 当充分小时，有且。因此由介值定理，使.
9、Taylor公式：若在连续，在可导，则有 ，同样有：，.若在处有n阶导数，则：例8 求极限：；。解：原式 原式. , 原式0.例9 若在点具有直到阶导数，并且，那么当为奇数时，非极值；当为偶数且时，为极小值；当为偶数且时，为极大值。解：当充分靠近时，由，则有余项满足与同号。当为奇数时，后者在的左右两边变号。从而非极值。当为偶数时，后者在的左右两边极小的邻域内不变号，从而为极值。若，则 ，（充分靠近）因此为极小值；若，则 ，（充分靠近），从而为极大值。例10 用罗必达法则求极限。 型；。解：原式原式 原式第四讲 定积分.可积性.积分不等式要点:一. 定积分的定义: 在上是一个有界函数.取一个分划
10、: 记.并计取作和: 若时,上面和式有极限.且极限不依赖于和则称在可积,且这个极限值称为在的积分记为二. 可积的充要条件1. 在上面的记号中.记 补在可积,即, 当时. 有2. 在可积, . 当时凡是使的那些小区间的长度之和(这里用表示特有得一类之和)注:, 分别称为上和与下和,有下面的结论:在可积存在三. 积分法1. 凑微分法:2. , 3. 分部积分:四. 定积分的性质1.(若在为奇函数) 若在为偶函数2.若是以为周期的函数.在可积.则 3. 只要在由三个数的两个构成的最长的区间上可积4.在上可积在上可积,且 5.若.则 进一步若在连续,且,则=0.6.若在连续, 在可积且不变号.则 (第
11、一中值定理)7.若在上可积, 在上单调, 则 特别若且,则有使 (第二中值定理) 例1.设在上有界,它的不连续是 则在可积.证: (充分小). , 当时,有. 在上的间断点有个:.取长度小于的个小区间, 把这个点盖住(这个点为小区间的中心), 使两个相邻小区间不相交.除去这些小开区间之后, 还余一些闭区间. 在每个闭区间上连续. 由一致连续性, , 当属于同一个闭区间,且时,有. 当,且时.有取.则当时与有公共点的小区间长度之和(,)与上述个小区间有公共点的小区间长度之和在这些小区间之外的每一个小区间上,有因此,使的所有小区间长度之和例2.判断下列函数的可积性 在解: . 即, 以及为的不连续
12、点.除此之外, 处处连续, 所有不连续点有极限点.从而在可积. (例1)例3.若在上可积,其积分是. 在内有 限个点上改变的值,使它成为另一个函数,则在上也可积, 且证:而在中,最多只有固定的个加项与中的加项不同.(这时恰取改变函数值的点) 是与的公共上界 例4.讨论三者可积性的关系解:可积可积,反之不对设在可积. , , ; , = 由于在上可积反之不对. 反例:则在不可积.但在上可积(2)可积可积. 更一般地,与在可积则在可积.事实上, , +由 有在上可积设在上可积由 而在上连续,从而一致连续可积 则 当时凡使的所有小区间的长度之和对 当时有现取 从而使的所有小区间,最多就是那些使的那些小区间,因此其长度之和另证 从而使的所有小区间最多就是使的小区间例5.(1)若在可积,则在连续(2)若在连续,则在可导,且证:在 可积,从而在有界 即使
