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1、函数值域求法十一种在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法简单函数对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解:显然函数的值域是: 例2. 求函数的值域。解:故函数的值域是:
2、2. 配方法主要是二次函数配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解:将函数配方得:由二次函数的性质可知:当x=1时,当时,故函数的值域是:4,8 3. 判别式法-针对分式 例4. 求函数的值域。解:原函数化为关于x的一元二次方程(1)当时,解得:(2)当y=1时,而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解:两边平方整理得:(1)解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程(1)有实根,由 求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程
3、(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解:由原函数式可得:则其反函数为:,其定义域为:故所求函数的值域为: 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解:由原函数式可得:解得:故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解:由原函数式可得:,可化为:即即解得:故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域
4、。解:令则在2,10上都是增函数所以在2,10上是增函数当x=2时,当x=10时,故所求函数的值域为: 例10. 求函数的值域。解:原函数可化为:令,显然在上为无上界的增函数所以,在上也为无上界的增函数所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值显然,故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解:令,则又,由二次函数的性质可知当时,当时,故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解:因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值
5、域。解:原函数可变形为:可令,则有当时,当时,而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数,的值域。解:令,则由且可得:当时,当时,故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解:由,可得故可令当时,当时,故所求函数的值域为: 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解:原函数可化简得:上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),间的距离之和。由上图可知,当点P在线段AB上时,当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,故所求函数的值域为: 例17. 求
6、函数的值域。解:原函数可变形为:上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解:将函数变形为:上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。即:由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有即:(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有综上所述,可知函数的值域为:注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2)
7、,在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为(3,2),在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解:原函数变形为:当且仅当即当时,等号成立故原函数的值域为: 例20. 求函数的值域。解:当且仅当,即当时,等号成立。由可得:故原函数的值域为: 10. 一一映射法原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解:定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解:令,则(1)当时,当且仅当t=1,即时取等号,所以(2)当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:注:先换元,后用不等式法 例23. 求函数的值域。解:令,则当时,当时,此时都存在,故函数的值域为注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。