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1、学案学案3 不等式选讲不等式选讲不等式不等式选讲选讲(1)理解绝对值的几何意义理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR).|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR). (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法方法:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法. 1.以选择题的形式考查绝对值不等式以选择题
2、的形式考查绝对值不等式,同时与不等式同时与不等式的性质相结合的性质相结合. 2.以考查绝对值不等式的解法为主以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的兼顾考查集合的交、并、补运算交、并、补运算. 3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法.1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特特别要注意等号成立的条件别要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b| ;|a-b|=|a|+|b| .ab0 ab0 2.|ax+b|c ; |ax+b|c ; 解解|x-c|+|x-b|a采用方法采用方法 . 3
3、. 3.证明不等式的常用方法证明不等式的常用方法 (1)比较法比较法:分分 比较法和比较法和 两种两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较法一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对对于含有幂指数类的用作商比较法于含有幂指数类的用作商比较法. (2)综合法综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式所要证明的不等式.其过程是其过程是“ ”.常用到以下不等常用到以下不等:a20,(ab)20,a2+b22ab(a,bR), (a,bR+).ax+b-c或或ax+bc -cax+bc 零点划分法零点划分法 作差作差 作商比较法作商比较法 由因导果由
4、因导果 (3)分析法分析法:从求证的不等式出发从求证的不等式出发,分析使这个不等式分析使这个不等式成立的条件成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题的问题.这是一种这是一种“ ”的方法的方法. (4)放缩法放缩法:依据不等式的传递性依据不等式的传递性,具有一定的技巧性具有一定的技巧性.常用的放缩法有常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“ ”，使其恰到好处，使其恰到好处. (5)换元法换元法:注意新元的取值范围注意新元的
5、取值范围,保证等价性保证等价性. (6)含有含有“至多至多”“至少至少”“唯一唯一”“不大于不大于”“不不小于小于”等词语的，考虑用反证法等词语的，考虑用反证法.执果索因执果索因 度度 考点考点考点考点1 |ax+b|c(c)1 |ax+b|c(c)型不等式的解法型不等式的解法型不等式的解法型不等式的解法 解不等式解不等式:(1) |2x-5|8;(2) |2-3x|7.【分析分析分析分析】利用绝对值的意义利用绝对值的意义,将绝对符号去掉将绝对符号去掉. 【解析解析解析解析】 (1)由原不等式得由原不等式得 -82x-58. - x . 原不等式的解集为原不等式的解集为x|- x . (2)由
6、原不等式得由原不等式得 3x-27或或3x-23或或x3或或x- . 含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值意义去掉绝对值.在变形过程中要特别注意保证同解在变形过程中要特别注意保证同解,同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰 ; 区别区别“并并”还是还是“交交”的关键是的关键是“或或”还是还是“且且” ，同时还要分，同时还要分清端点是否包括在内清端点是否包括在内.解不等式解不等式:3|x-2|9.解法一解法一解法一解法一:原不等式等价于原不等式等价于 |x-2|3, |x-2|9. x-23或或x-2-3
7、, x5或或x-1, -9x-29, -7x11.原不等式的解集为原不等式的解集为x|-7x-1或或5x11.即即 解法二解法二解法二解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集的并集. x-20, x-20, 3x-29, 32-x9. 不等式组（不等式组（1）的解集为）的解集为x|5x11. 不等式组不等式组(2)的解集为的解集为x|-7x-1. 原不等式的解集为原不等式的解集为x|-7x-1或或5x11. (1) (2) 解法三解法三解法三解法三：不等式：不等式3|x-2|9的几何意义是表示在数轴的几何意义是表示在数轴上到上到2的距离大于或等于的
8、距离大于或等于3且小于且小于9的点的集合的点的集合.如图所示如图所示.原不等式的解集为原不等式的解集为x|-7x-1或或5x11.考点考点考点考点2 |x-a|+|x-b|c(c)2 |x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法型不等式的解法型不等式的解法型不等式的解法解不等式解不等式:|x-1|+|x+2|5. 【分析分析分析分析】这是一个含有两个绝对值符号的不等式这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为不含绝对值符号的不等式为了使其转化为不含绝对值符号的不等式,要对未知数要对未知数x进行分类讨论进行分类讨论,即用即用“零点划分法零点划分法”将实数分成将实数分成x-2,-2x1和和
9、x1三个部分进行讨论三个部分进行讨论.【解析解析解析解析】解法一解法一:用用“零点划分法零点划分法”将实数分类：将实数分类：令令x-1=0得得x=1;令令x+2=0得得x=-2.(1)当当x-2时时,原不等式化为原不等式化为:-x+1-x-2-3.-3x-2. (2)当当-2x1时时,原不等式化为原不等式化为:-x+1+x+25,即即35恒成立恒成立. -2x1也是原不等式的解集也是原不等式的解集. (3)当当x1时时,原不等式化为原不等式化为:x-1+x+25,即即x2. 1x2. 综合综合(1)(2)(3)可知可知:原不等式的解集为原不等式的解集为:x|-3x2. 解法二解法二解法二解法二
10、:不等式不等式|x-1|+|x+2|5表示数轴上与点表示数轴上与点A和和点两点距离之和小于点两点距离之和小于5的点的集合的点的集合,而而A,B间距离为间距离为3,因此因此,线段线段AB上每一点到上每一点到A,B的距离之和等于的距离之和等于3.如图如图12-3-1所示所示.要找到与要找到与A,B距离之和为距离之和为5的点的点,只需由点只需由点B向向左移左移1个单位个单位(此时距离之和增加此时距离之和增加2个单位个单位),即移到点即移到点B1,或由点或由点A向右移向右移1个单位个单位,移到点移到点A1.可以看出可以看出,数轴上点数轴上点B1向右和点向右和点A1向左之间的点到向左之间的点到A,B距离
11、之和小于距离之和小于5. 原不等式的解集为原不等式的解集为x|-3x2.解法三解法三解法三解法三:分别作函数分别作函数y1=|x-1|+|x+2| -2x-1(x-2) 3(-2x1) 2x+1(x1) 和和y2=5的图象的图象,如图所示如图所示,不难看出不难看出,要使要使y1y2,只需只需-3x2.原不等式的解集为原不等式的解集为x|-3xb时，时，ambm,anbn;当当ab时，时，ambm,anbn,ambm.求证求证:x2+53x.证明证明证明证明:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x- + 0,x2+53x.考点考点考点考点4 4 不等式的证明不等式的证明不等式的证明不等式的证明综
12、合法、分析法综合法、分析法综合法、分析法综合法、分析法 若若a,b,c均为正数，求证：均为正数，求证： .【分析分析分析分析】证明时可用分析法，也可用综合法证明时可用分析法，也可用综合法.【证明证明证明证明】证法一证法一:欲证欲证 只要证只要证 只要证只要证只要证只要证(a+b+c) .(a+b+c)= (b+c)+(a+c)+(a+b) = ,故原不等式成立故原不等式成立.证法二证法二证法二证法二：= (a+b+c) -3= (b+c)+(a+c)+(a+b) -3 -3= , . (1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际上是以分析法为主，借助综
13、合法，使证明的问题明朗上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法称为分析综合法化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既分析综合法的实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于找到解题途径找到解题途径. (2)本题证法二本题证法二 是综合法是综合法,运用分析法易于找到思路运用分析法易于找到思路,但书写较繁但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径所以常常用分析法探索证明途径,用综合用综合法书写证明过程法书写证明过程.已知已知a,
14、b,c均为正数均为正数,证明证明:a2+b2+c2+（ ）26 ,并确定并确定a,b,c为何值为何值时，等号成立时，等号成立.【证明】【证明】证法一证法一:因为因为a,b,c均为正数均为正数,由均值不等式得由均值不等式得a2+b2+c23(abc) , 3(abc) ,所以所以 9(abc) . 故故a2+b2+c2+ 3(abc) +9(abc) .又又3(abc) +9(abc) 2 =6 , 所以原不等式成立所以原不等式成立.当且仅当当且仅当a=b=c时时,式和式和式等号成立式等号成立.当且仅当当且仅当3(abc) =9(abc) 时时,式等号成立式等号成立.故当且仅当故当且仅当a=b=
15、c=3 时时,原不等式等号成立原不等式等号成立.证法二证法二:因为因为a,b,c均为正数均为正数,由基本不等式得由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以所以a2+b2+c2ab+bc+ac.同理同理 故故 所以原不等式成立所以原不等式成立.当且仅当当且仅当a=b=c时时,式和式和式等号成立，当且仅当式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，时，式等号成立式等号成立.故当且仅当故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立时，原不等式等号成立.考点考点考点考点5 5 不等式的证明不等式的证明不等式的证明不等式的证明放缩法放缩法放缩法
16、放缩法 【证明证明证明证明】 , 2( ).令令k=1,2,3,n，则有，则有 2( -0), 2( -1), 2( - ), 2( - ).以上各式相加得以上各式相加得1+ + + + 2 .证明：不等式证明：不等式1+ + + c,求证求证: .证明证明证明证明:a+bc,a+b-c0.由真分数的性质，可得由真分数的性质，可得考点考点考点考点6 6 不等式的证明不等式的证明不等式的证明不等式的证明反证法反证法反证法反证法 已知函数已知函数f(x)=ax+ (a1).(1)证明证明:函数函数f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数;(2)证明证明:方程方程f(x)=0没有负根没有负根.【
17、分析分析分析分析】 (1)利用单调性的定义利用单调性的定义;(2)用反证法用反证法.【证明证明证明证明】 (1)证法一证法一:任取任取x1,x2(-1,+),不妨设不妨设x10, 1且且 0, - = ( -1)0.又又x1+10,x2+10,于是于是f(x2)-f(x1)= - + 0.故函数故函数f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数.证法二证法二证法二证法二:f(x)=ax+1- (a1).求导得求导得f(x)=axlna+ .a1,当当x-1时时,axlna0, 0,f(x)0在在(-1,+)上恒成立上恒成立,f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数.(2)设存在设存在x00
18、(x0-1)满足满足f(x0)=0,若若-1x00,则则f(x0)-1与与f(x0)=0矛盾矛盾.若若x01, 0,f(x0)1与与f(x0)=0矛盾矛盾,故方程故方程f(x)=0没有负根没有负根. (1)用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p则则q”时，可能会时，可能会出现以下三种情况：出现以下三种情况： 导出非导出非p为真为真,即与原命题的条件矛盾即与原命题的条件矛盾; 导出导出q为真为真,即与假设即与假设“非非q为真为真”矛盾；矛盾； 导出一个恒假命题导出一个恒假命题. (2)适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题: 结论本身是以否定形式出现的一类命题结论本身是以否定形式
19、出现的一类命题; 关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题； 结论以结论以“至多至多”“至少至少”等形式出现的命题；等形式出现的命题； 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题. (3)使用反证法证明问题时使用反证法证明问题时,准确地作出反设准确地作出反设 (即否即否定结论定结论)是正确运用反证法的前提是正确运用反证法的前提,常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”列表如下：列表如下：原结论词原结论词原结论词原结论词反设词反设词反设词反设词原结论词原结论词原结论词原结论词反设词反设词反设词反设词至少有一个至少有一个至少有一个至少有一个一
20、个也没有一个也没有对所有对所有x x成立成立存在某个存在某个x x不成立不成立至多有一个至多有一个至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个对任意对任意x x不成立不成立存在某个存在某个x x成立成立至少有至少有至少有至少有n n n n个个个个至多有至多有n-1n-1个个p p或或 q qp p且且 q q至多有至多有至多有至多有n n n n个个个个至少有至少有n+1n+1个个p p且且 q qp p或或 q q若若a,b,c,x,y,z均为实数均为实数,且且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证求证:a,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0. 证明证明证明证明
21、:假设假设a,b,c都不大于都不大于0, 即即a0,b0,c0.a+b+c0. 而而a+b+c=(x2-2y+ )+(y2-2z+ )+(z2-2x+ ) =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3， a+b+c0,这与这与a+b+c0矛盾矛盾. 故故a,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0.1.1.搞清几种绝对值不等式的解法及证明搞清几种绝对值不等式的解法及证明. .2.2.利用不等式求函数极值利用不等式求函数极值. . 1.1.解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式, ,要根据绝对值的意义要根据
22、绝对值的意义要根据绝对值的意义要根据绝对值的意义, ,去掉去掉去掉去掉绝对值符号绝对值符号绝对值符号绝对值符号, ,转化为不含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式( (或不等式或不等式或不等式或不等式组组组组) )求解求解求解求解. .对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法论法论法论法. . 2. 2.在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题在掌握不等式的证明方
23、法时应注意以下几个问题在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题: : (1) (1)比较法证题通常是进行因式分解或进行配方比较法证题通常是进行因式分解或进行配方比较法证题通常是进行因式分解或进行配方比较法证题通常是进行因式分解或进行配方, ,利利利利用非负数的性质来进行判断用非负数的性质来进行判断用非负数的性质来进行判断用非负数的性质来进行判断. . (2) (2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别上的差别上的差别上的差别, ,一个是一个是一个是一个是
24、“ “执因索果执因索果执因索果执因索果” ”，而另一个则是，而另一个则是，而另一个则是，而另一个则是“ “执果执果执果执果求因求因求因求因” ”. . (3)(3)放缩法的要求较高放缩法的要求较高放缩法的要求较高放缩法的要求较高, ,要想用好它要想用好它要想用好它要想用好它, ,必须有目标必须有目标必须有目标必须有目标, ,目目目目标可以从要证的结论中考查标可以从要证的结论中考查标可以从要证的结论中考查标可以从要证的结论中考查. . (4) (4)对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到求证明的难度和一题多证，宜以达到求证明的难度和一题多证，宜以达到求证明的难度和一题多证，宜以达到“ “双基双基双基双基” ”要求为准要求为准要求为准要求为准. .
