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1、高中数学中的对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1. 函数有（若等式两端的两自变量相加为常数，如），则的图像关于轴对称；当时，若，则关于轴对称；2. 函数有（若等式两端的两自变量相减为常数，如），则是周期函数，其周期；当时，若，则是周期函数，其周期；3. 函数的图像关于点对称；函数的图像关于点对称；4. 奇函数的图像关于点对称是周期函数，且是函数的一个周期；偶函数的图像关于点对称是周期函数，且是函数的一个周期；5. 奇函数的图像关于直线对称是周期函数，且是函数的一个周期；偶函数的图像关于直线对称是周期函数，且是函数的一个周期；6. 函数的图像关于点和点对称函数是周期函数，且是函数的一个周期；
2、7. 函数的图像关于直线和直线对称函数是周期函数，且是函数的一个周期。关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称，或关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为心)中称对(轴称对)线直(点称对线直、点原点（0，0）轴轴直线直线一、 关于点对称(1) 点关于点的对称点问题若点A, B, 则线段AB中点M的坐标是()；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M关于点P的对称点的坐标，利用中点坐标公式可得，解算的的坐标为。例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点的坐标是. 点M关于点P的对称点的坐标; 点M关于原点的对称点的坐标.(2) 直线关于点对称 直线L：关于原点的对称直线设所
3、求直线上一点为，则它关于原点的对称点为，因为点在直线上，故有，即； 直线：关于某一点的对称直线它的求法分两种情况：1)、当在上时，它的对称直线为过点的任一条直线。2)、当点不在上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线上任取一点，则它关于的对称点为，因为点在上，把点坐标代入直线在中，便得到的方程即为，简化为：.解法（二）：在上取一点，求出关于点的对称点的坐标。再由，可求出直线的方程。解法（三）：由，可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程。(3) 曲线关于点对称曲线关于的对称曲线的求法：设是所求曲线的任一点，则点关于的对称点为在曲线上。故对称曲线方程为。二、 关于直线的对称(1)
4、点关于直线的对称1) 点关于轴的对称点为2) 点关于轴的对称点为3) 关于直线的对称点是4) 关于直线的对称点是5) 点关于直线的对称点为6) 点关于直线的对称点为7) 点关于某直线的对称点的坐标解法（一）：由知，直线的方程，由可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点的坐标。解法（二）：设对称点为，由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到；再由得，联立、可得到点坐标。解法（三）：设对称点为，由点到直线的距离公式有，再由得，由、可得到点坐标。(2) 直线关于直线的对称直线设直线，则关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是1) 当与不相交时，则在上取一点求出它
5、关于的对称点的坐标。再利用可求出的方程。2) 当与相交时，、三线交于一点。解法（一）：先解与组成的方程组，求出交点的坐标。则交点必在对称直线上。再在上找一点，点的对称点也在上，由、两点可求出直线的方程。解法（二）：在上任取一点，则点关于直线的对称点在直线上，再由，。又的中点在上，由此解得，把点代入直线的方程中可求出的方程。解法（三）：设关于的对称直线为，则必过与的交点，且到的角等于到的角，从而求出的斜率，进而求出的方程。例：求直线关于直线对称的直线的方程解：设为所求直线上任意一点，则其关于对称的点在直线上.故所求直线方程为(3) 曲线关于直线对称曲线关于直线的对称曲线的方程，在上任取一点，可求
6、出它关于的对称点坐标，再代入中，就可求得的方程。例：求圆关于直线：的对称圆的方程解法（一）：设为所求圆上任意一点，则其关于对称的点在上. -即为对称圆的方程解法（二）：求圆心（0，0）关于对称点C（1，1）例：求椭圆 关于直线：对称椭圆的方程解：设为所求椭圆上任意一点，则其关于对称的点在上.综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是： 求对称点一般采用，先设对称点，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标， 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点，再利用求对称点的方程求出点的对称点点坐标，将点坐标代入已知曲线方程中，
7、所得的关于的关系式，就是所求对称曲线的方程。通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：心)中称对(轴称对)线直(点称对线直、点原点（0，0）轴轴直线直线三、 函数图像自身的对称(1) 一般地，函数的图象关于对称满足证明:1)若满足,设是的图象上的任意一点,则,关于直线的对称点是由条件知所以在的图象上,故函数的图象关于对称.2) 若函数的图象关于对称. 设是的图象上的任意一点，则关于对称点也在的图象上。从而有。令则有特例： 当b=a时，函数的图象关于对称满足 当a=0,b=2m时，函数的图象关于对称满足 当a+b=0时，函数的图象关于对称满足(2) 函数关于点对称，或或
8、 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称，或关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为四、 两个函数图像的对称关系图像特征与换种说法：与若满足关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与或与关于直线对称与换种说法：与若满足关于直线对称 换种说法：与若满足关于点对称五、 周期性1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期2.
9、若是周期，则也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数；3、对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。证明：函数的一个周期为。4、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。5、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。6、已知函数的定义域为，且对任意正整数都有则函数的一个周期为证明： （1） （2）两式相加得： 六、 对称性和周期性之间的联系性质1：函数满足，求证：函数是周期函数。证明：得得函数是周期函数，且是一个周期。性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由 得 得函数是以为周期的函数。性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明： 推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期证明：由已知举例:等.性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明： 性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数证明：
