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1、 数学部分第一讲 代数式及其恒等变形导学：初中学生必须能快速而且准确地进行代数式及其恒等变形.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.整式和分式统称为有理式.本讲主要学习：整式及其恒等变形、二次根式及其恒等变形.1.1 整式及其恒等变形【方法要点】幂的乘（除）法运算：，（为正整数）.多项式乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：， ；（3）立方和、差公式：，；（4）完全立方公式：,【试一试】下列运算正确吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）；（3）； （4） .观察下列一组单项式：，按此规律，第n个单项式是 .3现规定一种运算：，其中为
2、实数，则= .【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例. 计算：.解：原式=；例.求代数式的值：（1）当时，求代数式的值.（2）已知代数式的值为8，求代数式的值 （3）已知，时，求的值.解：（1）原式=.当时，原式为-9；（2）由知，得；（3）原式=.当，时，原式为3.【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈整式的恒等变形的特点，你认为整式的恒等变形在简化计算中有哪些好处？1计算2（1）已知.，则y的最小值是多少？（2）若，则的值是多少？3已知，则的值为多少？4已知，求代数式的值.5先化简，再求值：（1），其中；（2），其中.6小明家买了一套价格为8
3、0万元的住房，按要求需首期（第一年）付房款30万元，从第二年起，每年付房款5万元与上一年剩余房款的利息之和，假设剩余房款年利率为6.06%，则第年小明家需还款 万元.1.2 二次根式及其恒等变形【方法要点】根式：式子表示的是实数的算术平方根；二次根式的性质：（）； ；（，）； （，）.【试一试】1.下列计算正确吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）；（3）； （4） .2.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，则第10个数据是什么？3.估算的值（ ）在1和2之间 在2和3之间 在3和4之间 在4和5之间4.要使式子有意义，的取值范围是（ ） 且 或 且【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意
4、些什么？例.已知，化简解：由知异号，再由知，可得，从而.所以=.例2.比较大小：（1）与 （2）与 （3）与解：，而，；，而，故-；，而，即例3已知，、为实数，求的值.解：由题知.得，.例4.计算（1）； （2）；（3）.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.例5.已知，求的取值范围.解：由知，注意到，则有，所以，故.【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈根式的恒等变形的特点，你认为根式的恒等变形在简化计算中有哪些好处？若，化简.2.使有意义，应满足的条件是什么？3.下列计算正确的是（ ） 4.先化简再求值：，其中.5.计算：（1）； （2）；（3）
5、； （4）.6.已知，求的值.7.已知，试求的值.8.我们知道，形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：；，这样的化简过程叫做分母有理化.我们把叫做的有理化因式， 做的有理化因式.请完成下列各题：（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ；（2）化简；（3）比较，的大小，并说明理由.9.观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）上述各式反映的规律,写出用a（a为任意自然数且）表示的等式,并给出验证.第二讲 因式分解导学：在前一讲里，我们会根据多项式乘法的分配律、交换律与结合律,求出若干个多项
6、式的乘积那么，把这一过程反过来，我们能做什么呢？能把一个多项式化为若干个次数较低的多项式（或单项式）的乘积！把一个多项式化为若干个整式的积的过程叫做因式分解，也叫分解因式，从定义不难看出，因式分解是整式乘法的逆运算.“化积”与“整式”是因式分解的两个基本特征因式分解通常以“能分则分，直到不能再分”为原则，把一个多项式尽可能地分解为不能再分的几个整式的乘积在数学解题中，因式分解是一种重要的思想方法，我们必须学会其中几种最常用的方法！ 提取公因式法与运用公式法【方法要点】提取公因式法，即把多项式中各项含有的公因式提出来.应用公式法，即直接运用以下乘法公式进行因式分解（1）平方差公式：；（2）完全平
7、方公式：；（3）立方和差公式：；（4）完全立方公式：.【试一试】以下因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）.下面多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由.(1)； (2)； (3) 分解因式：(1)；(2)；(3) ；(4)【想一想】以下问题如何解决？解题时应注意些什么？例. 把下列各式分解因式：； ；解：原式；原式；原式；原式例.把下列各式分解因式： ； 解：原式；原式；原式=例.把下列各式分解因式：； 解：原式；原式=；原式=【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈用提取公因法与运用公式法分解因式的特点，你认为因式分解在简化计算中有哪些
8、好处？将下列各式分解因式：； 计算下列各式的值：；2.2 十字相乘法【方法要点】十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：第一种叫分拆系数形式，由中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图 图 图【试一试】试指出下列各式中实数的值： ；.用十字相乘法分解下列因式:； ；.【想一想】 以下问题是如何解决的?十字相乘法仅适用于对二次三项式的因式分解吗?例 把下列各式分解因式：; ； 解：；.例 请连续二次运用十字相乘法分解下列各式：；
9、解：，而，原式=； ，而，原式=；，而，原式=例 你能根据右边的图示，写出一个多项式及其它的分解式吗？ 如能，你可写出几个呢？ 解：从二次三项式考虑，有； ； 如从更一般考虑，可以为； 【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，谈谈用十字相乘法分解因式的特点，你认为用这一方法时要注意些什么？ 将下列各式分解因式：； ；将下列各式分解因式：； ；2.3 分组分解法【方法要点】分组分解法也是一种非常实用的因式分解方法，它是在多项式各项没有直接的公因式的情况下，先通过合理分组使各组出现公因式或构成某个乘法公式，然后再提取公因式或运用乘法公式，直至把某多项式化成几个整式乘积
10、的形式.分组分解法的关键在于合理分组这里的合理，就是要使分组后的各组具有公因式或构成某个乘法公式【试一试】以下各式应怎样分组，才能使分组后的各组具有公因式或构成一个乘法公式？；把下列各式分解因式：；【想一想】下列问题是怎样处理的？这样处理的目的是什么？还有其它解决办法吗？例 把下列各式分解因式：；解：；原式 例 把下列各式分解因式： ； 解：；例 多项式可进行因式分解吗？怎样分解？解：可以将各看成一个整体，对原多项式进行重新分组，便有 【练一练】求解下列各题，并请你结合本节【试一试】、【想一想】中的内容，概括一下用分组分解法进行分解因式的特点及运用时的关键点 将下列各式分解因式： ；已知，试求
11、的值； 若，求证：、中至少有两个数相等.2. 4 其它方法【方法要点】在因式分解中，除了上面介绍的提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法以外，还有求根公式法、待定系数法等求根公式法相对二次三项式而言，这里的“求根公式”就是一元二次方程，当时的两个实根：求出了实根，也就有因式分解的结论.可见，这种方法只有在相应一元二次方程有实根的前提下使用的；待定系数法是在已明确因式分解的方向，但不知有关系数时使用的一种方法，求出待定系的依据是“两多项式恒等，对应项系数相等”【试一试】你能用十字相乘法、求根公式法分解下列因式吗？不能用时能想到用别的方法吗？；如已经知道多项式中含有因式，你有什么办法可求
12、出该多项式的其余因式？【想一想】例 把下列各式分解因式：； 解：，,.求得方程的两个实根为：原式；将看成常数，方程的两根是所以，原式=.至此，你能总结出用求根公式法分解因式时的步骤是什么？例 试用待定系数法分解下列因式：；观察与思考：本题中的两个多项式各具有什么样的整式因式呢？方向应该是有的：在第问中，它至少可以化为一个一次整式与一个二次三项式的乘积；在第问中，它至少可以化为两个二次三项式的乘积解：对照同次项前的系数得：，解得故得原式=.设对照同次项前的系数有：，解得【练一练】解答以下各题，并请结合本节【试一试】、【想一想】中的解法，总结一下求根公式法适用的范围、步骤，待定系数法应用时的情境、步骤及注意点等等 分解因式：；
